Sobre o conjunto
considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes seguintes bolas abertas bolas abertas
(c)
;
(c)
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a métrica usual (a métrica induzida de
). Pede para encontrar a bola aberta centrada em
de raio
, isto é a bola
onde
é a distância usual. Aqui queremos listar todos os pontos de
cuja distância até
é menor que
.
Passo 2
Vou lembrar duas definições importantes, bem mastigadas:
- Métrica usual em
: para temos . No espaço com métrica induzida essa fórmula continua valendo, apenas restringimos para estarem em . - Bola aberta de centro
e raio no espaço (com a métrica induzida) é
Uma observação prática: a bola em
é a interseção da bola correspondente em
com
:
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao nosso caso: centro
e raio
. Então
Os elementos de
são ou
ou pontos
com
. Vou checar a desigualdade
para cada tipo.
Passo 4
- Para
temos e . Logo . - Para
temos , então . Como segue e portanto . Logo para todo temos , ou seja, todo ponto de também pertence a .
Passo 5
Como tanto
quanto todos os pontos de
satisfazem
, concluímos que toda a coleção
está contida em
. Pelo outro lado,
só pode conter pontos de
por definição (é uma bola em
), então não há pontos além de
. Portanto