Sobre o conjunto A=\{0\} \cup[1,2[ considere a métrica usual induzida. Ache as seguintes seguintes bolas abertas bolas abertas
(c) B(0,3);

Passo 1

O enunciado dá o conjunto A=\{0\}\cup[1,2[ com a métrica usual (a métrica induzida de \mathbb{R}). Pede para encontrar a bola aberta centrada em 0 de raio 3, isto é a bola
B(0,3)=\{x\in A \mid d(x,0)<3\},
onde d é a distância usual. Aqui queremos listar todos os pontos de A cuja distância até 0 é menor que 3.

Passo 2

Vou lembrar duas definições importantes, bem mastigadas:
  • Métrica usual em \mathbb{R}: para x,y\in\mathbb{R} temos d(x,y)=|x-y|. No espaço A com métrica induzida essa fórmula continua valendo, apenas restringimos x,y para estarem em A.
  • Bola aberta de centro a e raio r>0 no espaço A (com a métrica induzida) é
B_A(a,r)=\{x\in A \mid |x-a|<r\}.
Uma observação prática: a bola em A é a interseção da bola correspondente em \mathbb{R} com A:
B_A(a,r)=A\cap B_{\mathbb{R}}(a,r).

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao nosso caso: centro 0 e raio 3. Então
B(0,3)=\{x\in A \mid |x-0|<3\}=\{x\in A \mid |x|<3\}.
Os elementos de A são ou 0 ou pontos x com 1\le x<2. Vou checar a desigualdade |x|<3 para cada tipo.

Passo 4

  • Para x=0 temos |0|=0 e 0<3. Logo 0\in B(0,3).
  • Para x\in[1,2[ temos x\ge1, então |x|=x. Como x<2 segue x\le2 e portanto x<3. Logo para todo x\in[1,2[ temos |x|<3, ou seja, todo ponto de [1,2[ também pertence a B(0,3).

Passo 5

Como tanto 0 quanto todos os pontos de [1,2[ satisfazem |x|<3, concluímos que toda a coleção A=\{0\}\cup[1,2[ está contida em B(0,3). Pelo outro lado, B(0,3) só pode conter pontos de A por definição (é uma bola em A), então não há pontos além de A. Portanto
B(0,3)=A.

Resposta

\;B(0,3)=\{0\}\cup[1,2[

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