Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a ser integrada é a soma de três termos:
, e . - Podemos usar propriedades básicas de integrais (linearidade) e as regras de antiderivação para funções do tipo
.
Passo 2
Primeiro uso a linearidade da integral: podemos integrar cada termo separadamente e somar os resultados. Ou seja,
Explico rápido as regras que vou usar:
- Regra da constante:
, ou seja, pode tirar constantes fora da integral. - Regra da potência (para
): . Aqui é a constante de integração; em integral definida vamos avaliar uma primitiva entre os limites.
Passo 3
Reescrevo cada termo em potências para aplicar a regra da potência:
-
já é . -
é , então . -
.
Agora aplico a regra da potência a cada termo.
Passo 4
Calculo a antiderivada (primitiva) de cada termo:
- Para
: a primitiva é . - Para
: a primitiva é . Como , isso dá . - Para
: a primitiva é .
Somando as primitivas, uma primitiva
da função dada é
Passo 5
Agora aplico o teorema fundamental do cálculo: a integral definida é
. Vou calcular
e
passo a passo, avaliando cada termo.
Passo 6
Calculo
.
- Primeiro termo:
com dá . - Segundo termo:
com . Note que . Como , temos . Então o termo é . - Terceiro termo:
com é .
Somando:
Coloco em denominador comum
:
, então
Passo 7
Calculo
.
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Somando:
Coloco tudo sobre o denominador comum
:
então
Passo 8
Agora calculo a diferença
:
Coloco em denominador comum
:
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