Calcule:
\int_{1}^{4}\left(5 x-2 \sqrt{x}+\frac{32}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{4}\left(5 x-2 \sqrt{x}+\frac{32}{x^{3}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 1 e 4.
  • A função a ser integrada é a soma de três termos: 5x, -2\sqrt{x} e \dfrac{32}{x^{3}}.
  • Podemos usar propriedades básicas de integrais (linearidade) e as regras de antiderivação para funções do tipo x^{n}.

Passo 2

Primeiro uso a linearidade da integral: podemos integrar cada termo separadamente e somar os resultados. Ou seja,
\int_{1}^{4}\left(5 x-2 \sqrt{x}+\frac{32}{x^{3}}\right)\,dx = \int_{1}^{4}5x\,dx - \int_{1}^{4}2\sqrt{x}\,dx + \int_{1}^{4}\frac{32}{x^{3}}\,dx.
Explico rápido as regras que vou usar:
  • Regra da constante: \displaystyle\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, ou seja, pode tirar constantes fora da integral.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui C é a constante de integração; em integral definida vamos avaliar uma primitiva entre os limites.

Passo 3

Reescrevo cada termo em potências para aplicar a regra da potência:
  • 5x já é 5x^{1}.
  • \sqrt{x} é x^{1/2}, então -2\sqrt{x} = -2x^{1/2}.
  • \dfrac{32}{x^{3}} = 32x^{-3}.
Agora aplico a regra da potência a cada termo.

Passo 4

Calculo a antiderivada (primitiva) de cada termo:
  • Para 5x^{1}: a primitiva é 5\cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1}=5\cdot \dfrac{x^{2}}{2}=\dfrac{5}{2}x^{2}.
  • Para -2x^{1/2}: a primitiva é -2\cdot \dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=-2\cdot \dfrac{x^{3/2}}{3/2}. Como \dfrac{1}{3/2}=\dfrac{2}{3}, isso dá -2\cdot \dfrac{2}{3}x^{3/2}=-\dfrac{4}{3}x^{3/2}.
  • Para 32x^{-3}: a primitiva é 32\cdot \dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}=32\cdot \dfrac{x^{-2}}{-2}= -16x^{-2}.
Somando as primitivas, uma primitiva F(x) da função dada é
F(x)=\frac{5}{2}x^{2}-\frac{4}{3}x^{3/2}-16x^{-2}.

Passo 5

Agora aplico o teorema fundamental do cálculo: a integral definida é F(4)-F(1). Vou calcular F(4) e F(1) passo a passo, avaliando cada termo.

Passo 6

Calculo F(4).
  • Primeiro termo: \displaystyle \frac{5}{2}x^{2} com x=4 \frac{5}{2}\cdot 4^{2}=\frac{5}{2}\cdot 16=40.
  • Segundo termo: \displaystyle -\frac{4}{3}x^{3/2} com x=4. Note que x^{3/2}=(\sqrt{x})^{3}. Como \sqrt{4}=2, temos 4^{3/2}=2^{3}=8. Então o termo é -\frac{4}{3}\cdot 8=-\frac{32}{3}.
  • Terceiro termo: \displaystyle -16x^{-2} com x=4 é -16\cdot 4^{-2}=-16\cdot \frac{1}{4^{2}}=-16\cdot \frac{1}{16}=-1.
Somando:
F(4)=40-\frac{32}{3}-1=39-\frac{32}{3}.
Coloco em denominador comum 3: 39=\dfrac{117}{3}, então
F(4)=\frac{117}{3}-\frac{32}{3}=\frac{85}{3}.

Passo 7

Calculo F(1).
  • Primeiro termo: \displaystyle \frac{5}{2}\cdot 1^{2}=\frac{5}{2}.
  • Segundo termo: \displaystyle -\frac{4}{3}\cdot 1^{3/2}=-\frac{4}{3}.
  • Terceiro termo: \displaystyle -16\cdot 1^{-2}=-16.
Somando:
F(1)=\frac{5}{2}-\frac{4}{3}-16.
Coloco tudo sobre o denominador comum 6:
\frac{5}{2}=\frac{15}{6},\qquad -\frac{4}{3}=-\frac{8}{6},\qquad -16=-\frac{96}{6},
então
F(1)=\frac{15}{6}-\frac{8}{6}-\frac{96}{6}=\frac{15-8-96}{6}=\frac{-89}{6}.

Passo 8

Agora calculo a diferença F(4)-F(1):
\frac{85}{3}-\left(-\frac{89}{6}\right)=\frac{85}{3}+\frac{89}{6}.
Coloco em denominador comum 6: \frac{85}{3}=\frac{170}{6}. Logo
\frac{170}{6}+\frac{89}{6}=\frac{259}{6}.

Resposta

\dfrac{259}{6}

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