Calcule.
\int \cos ^{2} 5 x d x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
\int \cos^2 5x \, dx
e vamos usar a fórmula de redução de potência para o cosseno.

Passo 2

Pela identidade
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}
com \theta = 5x temos
\cos^2 5x = \frac{1 + \cos(10x)}{2}.
Logo,
\int \cos^2 5x \, dx = \int \frac{1 + \cos(10x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(10x) \, dx.

Passo 3

O primeiro termo integra diretamente:
\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}.
Para o segundo, façamos u = 10x, de modo que du = 10\,dx e dx = \frac{du}{10}. Assim,
\frac{1}{2} \int \cos(10x) \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(u)\,\frac{du}{10} = \frac{1}{20} \int \cos(u)\,du = \frac{1}{20}\sin(u) = \frac{1}{20}\sin(10x).
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos o resultado final.

Resposta

\int \cos^2 5x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(10x)}{20} + C.

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