Calcule
\int \cos ^{3} x \operatorname{sen} x d x ;\quad \int x^{3} \cos x^{4} d x ;\quad \int x e^{-x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas (integrais indefinidas) das três funções abaixo:
  • \displaystyle \int \cos^{3}x\,\sin x\,dx
  • \displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx
  • \displaystyle \int x\,e^{-x^{2}}\,dx
Estas são integrais indefinidas, então o resultado será uma família de funções (antiderivadas) mais uma constante de integração C. Vou resolver cada uma passo a passo e explicar a ideia usada.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: substituição (também chamada de mudança de variável ou método da cadeia inversa). A ideia é esta: se tivermos uma integral da forma
\int f\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)\,dx,
fazendo a substituição \,u=g(x) temos \,du=g'(x)\,dx e a integral passa a ser
\int f(u)\,du,
que normalmente é mais simples. Isso é a inversa do Regra da Cadeia na diferenciação. Ao aplicar a substituição, sempre escreva du em função de dx e troque todas as ocorrências de x por u.
Agora aplicamos isso em cada integral.

Passo 3

Integral 1: \displaystyle \int \cos^{3}x\,\sin x\,dx.
Observação: vejo \sin x\,dx multiplicando uma potência de \cos x. Isso sugere escolher u igual a \cos x, porque a derivada de \cos x envolve \sin x.
Faça a substituição:
u=\cos x.
Diferenciando,
du=-\sin x\,dx\quad\Rightarrow\quad \sin x\,dx=-du.
Substituindo na integral:
\int \cos^{3}x\,\sin x\,dx = \int u^{3}\,(-du) = -\int u^{3}\,du.
Agora integramos uma potência simples:
-\int u^{3}\,du = -\frac{u^{4}}{4}+C.
Voltando à variável original \,x:
-\frac{u^{4}}{4}+C = -\frac{\cos^{4}x}{4}+C.
(checagem rápida: derivando -\tfrac{1}{4}\cos^{4}x usa-se a regra da cadeia: -\tfrac{1}{4}\cdot 4\cos^{3}x\cdot(-\sin x)=\cos^{3}x\sin x, OK.)

Passo 4

Integral 2: \displaystyle \int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx.
Aqui vemos \cos(x^{4}) e um fator x^{3}\,dx. A derivada de x^{4} é 4x^{3}, então escolher u=x^{4} é natural.
Faça a substituição:
u=x^{4},
então
du=4x^{3}\,dx\quad\Rightarrow\quad x^{3}\,dx=\frac{du}{4}.
Substituindo:
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
A integral de \cos u é \sin u, logo
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin u + C.
Voltando a x:
\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)+C.
(checagem: derivando \tfrac{1}{4}\sin(x^{4}) obtém-se \tfrac{1}{4}\cos(x^{4})\cdot 4x^{3}=x^{3}\cos(x^{4}), OK.)

Passo 5

Integral 3: \displaystyle \int x\,e^{-x^{2}}\,dx.
Aqui aparece e^{-x^{2}} e um fator x\,dx. A derivada de -x^{2} é -2x, e a derivada de x^{2} é 2x; ambos envolvem x. Podemos escolher u=x^{2} (ou u=-x^{2}); eu uso u=x^{2}.
Substituição:
u=x^{2},
então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Substituindo na integral:
\int x\,e^{-x^{2}}\,dx = \int e^{-u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{-u}\,du.
A integral de e^{-u} é -e^{-u}, então
\frac{1}{2}\int e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-e^{-u}\bigr)+C = -\frac{1}{2}e^{-u}+C.
Voltando a x:
-\frac{1}{2}e^{-x^{2}}+C.
(checagem: derivando -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}} -\tfrac{1}{2}e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=x e^{-x^{2}}, OK.)

Passo 6

Resumo rápido do padrão que apareceu: sempre que a integral tem uma função composta F(g(x)) multiplicada por algo proporcional a g'(x), a substituição u=g(x) transforma a integral em algo mais simples. Essa é uma técnica muito útil em provas e exercícios — procure sempre por um pedaço cuja derivada aparece multiplicando o restante.
Força aí: você já dominou a ideia essencial da substituição — com um pouco de prática isso vira automático!

Resposta

-\dfrac{\cos^{4}x}{4}+C
\dfrac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr)+C
-\dfrac{1}{2}e^{-x^{2}}+C

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