Calcule
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas (integrais indefinidas) das três funções abaixo:
Estas são integrais indefinidas, então o resultado será uma família de funções (antiderivadas) mais uma constante de integração
. Vou resolver cada uma passo a passo e explicar a ideia usada.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: substituição (também chamada de mudança de variável ou método da cadeia inversa). A ideia é esta: se tivermos uma integral da forma
fazendo a substituição
temos
e a integral passa a ser
que normalmente é mais simples. Isso é a inversa do Regra da Cadeia na diferenciação. Ao aplicar a substituição, sempre escreva
em função de
e troque todas as ocorrências de
por
.
Agora aplicamos isso em cada integral.
Passo 3
Integral 1:
.
Observação: vejo
multiplicando uma potência de
. Isso sugere escolher
igual a
, porque a derivada de
envolve
.
Faça a substituição:
Diferenciando,
Substituindo na integral:
Agora integramos uma potência simples:
Voltando à variável original
:
(checagem rápida: derivando
usa-se a regra da cadeia:
, OK.)
Passo 4
Integral 2:
.
Aqui vemos
e um fator
. A derivada de
é
, então escolher
é natural.
Faça a substituição:
então
Substituindo:
A integral de
é
, logo
Voltando a
:
(checagem: derivando
obtém-se
, OK.)
Passo 5
Integral 3:
.
Aqui aparece
e um fator
. A derivada de
é
, e a derivada de
é
; ambos envolvem
. Podemos escolher
(ou
); eu uso
.
Substituição:
então
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então
Voltando a
:
(checagem: derivando
dá
, OK.)
Passo 6
Resumo rápido do padrão que apareceu: sempre que a integral tem uma função composta
multiplicada por algo proporcional a
, a substituição
transforma a integral em algo mais simples. Essa é uma técnica muito útil em provas e exercícios — procure sempre por um pedaço cuja derivada aparece multiplicando o restante.
Força aí: você já dominou a ideia essencial da substituição — com um pouco de prática isso vira automático!