Calcule
\int \frac{x^{2}+1}{x} d x ;\quad \int(\sqrt[3]{x}+\cos 3 x) d x ;\quad \int(\cos x+\operatorname{sen} x)^{2} d x ;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular três integrais indefinidas. Vou listar cada uma claramente (isto é o que preciso encontrar).
  • Primeiro integral: \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x}\,dx.
  • Segundo integral: \displaystyle \int\big(\sqrt[3]{x}+\cos 3x\big)\,dx.
  • Terceiro integral: \displaystyle \int\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}\,dx.
Informações importantes e observações iniciais:
  • Em todas as três integrais vou usar regras básicas de integração: linearidade (integral da soma é soma das integrais) e regras elementares (regra do poder para potências, integral de 1/x é \ln|x|, e integrais de funções trigonométricas simples).
  • Vou explicar cada regra quando for usada, passo a passo, para você aprender a aplicar na prova.

Passo 2

Resolver \displaystyle \int \frac{x^{2}+1}{x}\,dx.
  1. Primeiro simplificar a expressão algébrica. Divido cada termo por x:
\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
  1. Usar linearidade da integral:
\int\frac{x^{2}+1}{x}\,dx=\int x\,dx+\int\frac{1}{x}\,dx.
A linearidade diz que \displaystyle \int (f+g)=\int f+\int g e \displaystyle \int c\cdot f = c\int f.
  1. Integrar cada termo:
  • Regra do poder: para n\neq -1 vale \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. Aqui, para x temos n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
  • Integral de 1/x: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|. Essa é uma regra específica (caso n=-1 a regra do poder não vale e a primitiva é o logaritmo natural).
  1. Somando:
\int\frac{x^{2}+1}{x}\,dx=\frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C.

Passo 3

Resolver \displaystyle \int\big(\sqrt[3]{x}+\cos 3x\big)\,dx.
  1. Reescrever \sqrt[3]{x} como potência: \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Aplicar linearidade:
\int\big(x^{1/3}+\cos 3x\big)\,dx=\int x^{1/3}\,dx+\int\cos 3x\,dx.
  1. Integral de x^{1/3}: usar a regra do poder com n=\tfrac{1}{3}:
\int x^{1/3}\,dx=\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}+C=\frac{x^{4/3}}{4/3}+C=\frac{3}{4}x^{4/3}+C.
Expliquei: some 1 ao expoente e divida por esse novo expoente.
  1. Integral de \cos 3x: usar substituição simples ou lembrar a regra \displaystyle \int \cos(ax)\,dx=\frac{1}{a}\sin(ax)+C.
    Para justificar: faça u=3x, então du=3\,dx e dx=\tfrac{1}{3}du, logo
\int\cos 3x\,dx=\int\cos u\cdot\frac{1}{3}\,du=\frac{1}{3}\sin u+\!C=\frac{1}{3}\sin(3x)+C.
  1. Juntando os resultados:
\int\big(\sqrt[3]{x}+\cos 3x\big)\,dx=\frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{1}{3}\sin(3x)+C.

Passo 4

Resolver \displaystyle \int\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}\,dx.
  1. Primeiro expandir o quadrado (algebra básica):
\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}=\cos^{2}x+2\cos x\operatorname{sen} x+\operatorname{sen}^{2}x.
(Lembrando que \operatorname{sen} x é a mesma função que \sin x.)
  1. Usar a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}x+\cos^{2}x=1. Então os termos \cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x somam 1:
\cos^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x=1.
Assim a expressão fica
\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}=1+2\cos x\operatorname{sen} x.
  1. Reconhecer a identidade do duplo ângulo: 2\sin x\cos x=\sin 2x. Então
1+2\cos x\operatorname{sen} x=1+\sin 2x.
  1. Integrar termo a termo:
\int\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}\,dx=\int 1\,dx+\int\sin 2x\,dx.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • Para \displaystyle \int\sin 2x\,dx usar a regra \int\sin(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C (ou substituição u=2x). Assim
\int\sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x + C.
  1. Somando:
\int\big(\cos x+\operatorname{sen} x\big)^{2}\,dx = x-\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Passo 5

Pequena verificação mental (dica para a prova): derivando cada primitiva obtida deve-se recuperar o integrando original. Isso é sempre uma boa checagem rápida se houver dúvida.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln|x|+C
\displaystyle \frac{3}{4}x^{4/3}+\frac{1}{3}\sin(3x)+C
\displaystyle x-\frac{1}{2}\cos 2x +C

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