Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular três integrais indefinidas. Vou listar cada uma claramente (isto é o que preciso encontrar).
- Primeiro integral:
. - Segundo integral:
. - Terceiro integral:
.
Informações importantes e observações iniciais:
- Em todas as três integrais vou usar regras básicas de integração: linearidade (integral da soma é soma das integrais) e regras elementares (regra do poder para potências, integral de
é , e integrais de funções trigonométricas simples). - Vou explicar cada regra quando for usada, passo a passo, para você aprender a aplicar na prova.
Passo 2
Resolver
.
- Primeiro simplificar a expressão algébrica. Divido cada termo por
:
- Usar linearidade da integral:
A linearidade diz que
e
.
- Integrar cada termo:
- Regra do poder: para
vale . Aqui, para temos , então
- Integral de
: Essa é uma regra específica (caso a regra do poder não vale e a primitiva é o logaritmo natural).
- Somando:
Passo 3
Resolver
.
- Reescrever
como potência: . Aplicar linearidade:
- Integral de
: usar a regra do poder com :
Expliquei: some 1 ao expoente e divida por esse novo expoente.
- Integral de
: usar substituição simples ou lembrar a regra .
Para justificar: faça, então e , logo
- Juntando os resultados:
Passo 4
Resolver
.
- Primeiro expandir o quadrado (algebra básica):
(Lembrando que
é a mesma função que
.)
- Usar a identidade trigonométrica fundamental
. Então os termos somam 1:
Assim a expressão fica
- Reconhecer a identidade do duplo ângulo:
. Então
- Integrar termo a termo:
-
. - Para
usar a regra (ou substituição ). Assim
- Somando:
Passo 5
Pequena verificação mental (dica para a prova): derivando cada primitiva obtida deve-se recuperar o integrando original. Isso é sempre uma boa checagem rápida se houver dúvida.