Em cada um dos Problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Passo 1
O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2 e pede todos os autovalores e autovetores:
Informações fornecidas:
- Os elementos da matriz são
, , , .
O que é pedido: - Encontrar todos os autovalores
(valores escalares) e, para cada autovalor, encontrar todos os autovetores não nulos tais que .]
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o polinômio característico de
. Esse polinômio é dado por
, onde
é a matriz identidade. Escrevendo a matriz
:
O determinante (polinômio característico) é
Passo 3
Expandindo o determinante:
Portanto o polinômio característico é
Agora resolvemos essa equação quadrática para obter os autovalores.]
Passo 4
Usando a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Logo os dois autovalores distintos são
Passo 5
Agora, para cada autovalor
, achamos o autovetor não nulo
resolvendo
.
Começando por . A matriz
é
Começando por
O sistema
dá duas equações, que são múltiplas entre si; usemos a primeira:
Isolando
:
Escolhendo
(qualquer múltiplo serve), um autovetor associado a
é
Qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor correspondente.]
Passo 6
Agora para
. A matriz
é
Usando a primeira linha para obter a relação entre
e
:
Escolhendo
, um autovetor correspondente a
é
Novamente, qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor.]
Passo 7
Resumo e observação final: os autovalores são distintos, logo os autovetores encontrados são linearmente independentes. Isso completa a determinação de todos os autovalores e autovetores da matriz dada.