Em cada um dos Problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\\left(\\begin{array}{rr}3 & 2 \\\\ 4 & -1\end{array}\\\right)\

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 2 e pede todos os autovalores e autovetores:
A=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 4 & -1\end{pmatrix}.
Informações fornecidas:
  • Os elementos da matriz são a_{11}=3, a_{12}=2, a_{21}=4, a_{22}=-1.
    O que é pedido:
  • Encontrar todos os autovalores \lambda (valores escalares) e, para cada autovalor, encontrar todos os autovetores não nulos v tais que A v=\lambda v.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o polinômio característico de A. Esse polinômio é dado por \det(A-\lambda I), onde I é a matriz identidade. Escrevendo a matriz A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 2 \\[4pt] 4 & -1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante (polinômio característico) é
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-1-\lambda)-2\cdot 4.]

Passo 3

Expandindo o determinante:
\begin{aligned} \det(A-\lambda I)&=(3-\lambda)(-1-\lambda)-8\\[4pt] &= (3)(-1)+ (3)(-\lambda)+(-\lambda)(-1)+(-\lambda)(-\lambda)-8\\[4pt] &= -3-3\lambda+\lambda+\lambda^2-8\\[4pt] &=\lambda^2-2\lambda-11. \end{aligned}
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2-2\lambda-11=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para obter os autovalores.]

Passo 4

Usando a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-11)}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{4+44}}{2} =\frac{2\pm\sqrt{48}}{2}.
Como \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}, obtemos
\lambda=\frac{2\pm 4\sqrt{3}}{2}=1\pm 2\sqrt{3}.
Logo os dois autovalores distintos são
\lambda_1=1+2\sqrt{3},\qquad \lambda_2=1-2\sqrt{3}.

Passo 5

Agora, para cada autovalor \lambda, achamos o autovetor não nulo v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Começando por \lambda_1=1+2\sqrt{3}. A matriz A-\lambda_1 I é
\begin{pmatrix}3-\lambda_1 & 2 \\[4pt] 4 & -1-\lambda_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-(1+2\sqrt{3}) & 2 \\[4pt] 4 & -1-(1+2\sqrt{3})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-2\sqrt{3} & 2 \\[4pt] 4 & -2-2\sqrt{3}\end{pmatrix}.
O sistema (A-\lambda_1 I)\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=0 dá duas equações, que são múltiplas entre si; usemos a primeira:
(2-2\sqrt{3})x+2y=0.
Isolando y:
2y=-(2-2\sqrt{3})x \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2-2\sqrt{3}}{2}x=-(1-\sqrt{3})x=(\sqrt{3}-1)x.
Escolhendo x=1 (qualquer múltiplo serve), um autovetor associado a \lambda_1 é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{3}-1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar de v_1 também é autovetor correspondente.]

Passo 6

Agora para \lambda_2=1-2\sqrt{3}. A matriz A-\lambda_2 I é
\begin{pmatrix}3-\lambda_2 & 2 \\[4pt] 4 & -1-\lambda_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-(1-2\sqrt{3}) & 2 \\[4pt] 4 & -1-(1-2\sqrt{3})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+2\sqrt{3} & 2 \\[4pt] 4 & -2+2\sqrt{3}\end{pmatrix}.
Usando a primeira linha para obter a relação entre x e y:
(2+2\sqrt{3})x+2y=0 \quad\Rightarrow\quad 2y=-(2+2\sqrt{3})x \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{2+2\sqrt{3}}{2}x=-(1+\sqrt{3})x.
Escolhendo x=1, um autovetor correspondente a \lambda_2 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-(1+\sqrt{3})\end{pmatrix}.
Novamente, qualquer múltiplo escalar de v_2 também é autovetor.]

Passo 7

Resumo e observação final: os autovalores são distintos, logo os autovetores encontrados são linearmente independentes. Isso completa a determinação de todos os autovalores e autovetores da matriz dada.

Resposta

\lambda_1=1+2\sqrt{3},\quad v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{3}-1\end{pmatrix}
\lambda_2=1-2\sqrt{3},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-(1+\sqrt{3})\end{pmatrix}]

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