Calcule
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}.
Informações dadas: a função a integrar é a recíproca da raiz cúbica de (x+1), ou seja a integranda pode ser escrita como a potência (x+1)^{-1/3}. Não há outras condições explícitas (constante de integração C será adicionada no final).

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica e muito útil para integrais de potências: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz que, para qualquer número real n \neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Por que isso vale? Porque ao derivar \frac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra da derivada de potência, obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
logo \frac{x^{n+1}}{n+1} é uma primitiva de x^{n}. Aqui C é a constante arbitrária de integração.

Passo 3

No nosso caso a integranda é (x+1)^{-1/3}. Para aplicar a regra da potência de forma direta é mais limpo fazer a substituição simples de translação:
defina u=x+1. Então
du=dx.
Com isso a integral em x vira uma integral em u:
\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x+1}}=\int u^{-1/3}\,du.
A substituição foi escolhida porque a expressão dentro da potência é uma função linear de x; ao trocar por u tornamos a integral no formato padrão u^{n}.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência com n=-\tfrac{1}{3}. Note que n\neq -1, então a fórmula vale. Calculamos n+1:
n+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}.
Pela fórmula,
\int u^{-1/3}\,du=\frac{u^{2/3}}{2/3}+C.
Dividir por \tfrac{2}{3} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{3}{2}, então obtemos
\int u^{-1/3}\,du=\frac{3}{2}\,u^{2/3}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembre que u=x+1), temos a primitiva
\frac{3}{2}(x+1)^{2/3}+C.

Passo 6

Vamos checar rapidamente diferenciando para ter certeza de que deu certo. Derivando \frac{3}{2}(x+1)^{2/3} usamos a regra da cadeia:
a derivada de (x+1)^{2/3} é \tfrac{2}{3}(x+1)^{-1/3}, e multiplicando pela constante \tfrac{3}{2} obtemos
\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}(x+1)^{-1/3}=(x+1)^{-1/3},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Observação prática que ajuda na prova: para integrais do tipo \int (ax+b)^{n}\,dx com n\neq -1, a primitiva é
\int (ax+b)^{n}\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C,
pois basta fazer u=ax+b e usar a regra da potência. No nosso problema a=1, b=1, n=-\tfrac{1}{3}, e a fórmula produz o mesmo resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}(x+1)^{2/3}+C

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