Calcule
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x+1}}
\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x+1}}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: a função a integrar é a recíproca da raiz cúbica de
, ou seja a integranda pode ser escrita como a potência
. Não há outras condições explícitas (constante de integração
será adicionada no final).
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica e muito útil para integrais de potências: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz que, para qualquer número real
,
Por que isso vale? Porque ao derivar
usando a regra da derivada de potência, obtemos
logo
é uma primitiva de
. Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 3
No nosso caso a integranda é
. Para aplicar a regra da potência de forma direta é mais limpo fazer a substituição simples de translação:
defina . Então
defina
Com isso a integral em
vira uma integral em
:
A substituição foi escolhida porque a expressão dentro da potência é uma função linear de
; ao trocar por
tornamos a integral no formato padrão
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência com
. Note que
, então a fórmula vale. Calculamos
:
Pela fórmula,
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então obtemos
Passo 5
Voltando à variável original
(lembre que
), temos a primitiva
Passo 6
Vamos checar rapidamente diferenciando para ter certeza de que deu certo. Derivando
usamos a regra da cadeia:
a derivada de é
, e multiplicando pela constante
obtemos
a derivada de
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Observação prática que ajuda na prova: para integrais do tipo
com
, a primitiva é
pois basta fazer
e usar a regra da potência. No nosso problema
,
,
, e a fórmula produz o mesmo resultado.