Calcule
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{4+\cos ^{2} x}
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{4+\cos ^{2} x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas: o integrando é
e os limites de integração são
e
. Não há outras condições explícitas.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de
é
. Quando vemos
junto com uma função de
, é natural fazer a substituição
porque então
. Vou explicar isso com calma:
é uma nova variável que representa
; ao derivarmos
em relação a
obtemos
, logo
. Essa troca transforma a integral em uma integral em
, normalmente mais simples.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo os novos limites:
Substituindo
na integral original obtenho
Reordenando os limites para crescer de
a
(trocar limites muda o sinal) fica
Passo 4
Agora precisamos calcular
Técnica para integrar essa forma: reconhecemos a integral padrão
onde
. Explicando por que: se fizermos a substituição
então
e
No nosso caso
, então
. Assim uma primitiva de
é
Passo 5
Aplico a primitiva nos limites
e
:
Usando que
é função ímpar (isto é,
), o resultado simplifica para