Calcule
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{4+\cos ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x\,dx}{4+\cos^{2}x}.
Informações fornecidas: o integrando é \dfrac{\sin x}{4+\cos^{2}x} e os limites de integração são x=0 e x=\pi. Não há outras condições explícitas.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a derivada de \cos x é -\sin x. Quando vemos \sin x\,dx junto com uma função de \cos x, é natural fazer a substituição
u=\cos x,
porque então du=-\sin x\,dx. Vou explicar isso com calma: u é uma nova variável que representa \cos x; ao derivarmos u em relação a x obtemos du/dx=-\sin x, logo du=-\sin x\,dx. Essa troca transforma a integral em uma integral em u, normalmente mais simples.

Passo 3

Faço a substituição u=\cos x. Calculo os novos limites:
\text{quando } x=0,\; u=\cos 0 = 1; \qquad \text{quando } x=\pi,\; u=\cos \pi = -1.
Substituindo du=-\sin x\,dx na integral original obtenho
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x\,dx}{4+\cos^{2}x} = \int_{x=0}^{x=\pi} \frac{\sin x\,dx}{4+u^{2}} = \int_{u=1}^{u=-1} \frac{-du}{4+u^{2}}.
Reordenando os limites para crescer de -1 a 1 (trocar limites muda o sinal) fica
\int_{1}^{-1} \frac{-du}{4+u^{2}} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{4+u^{2}}.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\int_{-1}^{1} \frac{du}{4+u^{2}}.
Técnica para integrar essa forma: reconhecemos a integral padrão
\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Explicando por que: se fizermos a substituição v=u/a então dv=du/a e
\int \frac{du}{a^{2}+u^{2}} = \int \frac{a\,dv}{a^{2}(1+v^{2})} = \frac{1}{a}\int \frac{dv}{1+v^{2}} = \frac{1}{a}\arctan v + C = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
No nosso caso a^{2}=4, então a=2. Assim uma primitiva de \dfrac{1}{4+u^{2}} é
\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{u}{2}\right).

Passo 5

Aplico a primitiva nos limites -1 e 1:
\int_{-1}^{1} \frac{du}{4+u^{2}} = \left[\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{u}{2}\right)\right]_{u=-1}^{u=1} = \frac{1}{2}\left(\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right)-\arctan\!\left(-\frac{1}{2}\right)\right).
Usando que \arctan é função ímpar (isto é, \arctan(-t)=-\arctan(t)), o resultado simplifica para
\frac{1}{2}\bigl(\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+\arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\bigr) = \arctan\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Resposta

\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)

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