Calcule
\int \frac{d x}{\sqrt{6 x-x^{2}}}
\int \frac{d x}{\sqrt{6 x-x^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas/observações iniciais:
- A função integranda é
. - O radicando é
. Para que a raiz quadrada seja real precisamos de , ou seja . (Isso dá a restrição natural do domínio da primitiva real.) - O problema pede a primitiva geral (integral indefinida), então devemos obter uma expressão em
mais uma constante de integração . - Não existe pedido explícito de método no enunciado, então escolhemos um método conveniente: manipular o radicando para reconhecer uma forma padrão integrável.
Passo 2
Vamos reescrever o radicando completando o quadrado para deixar a expressão num formato padrão. Calculemos:
Agora completamos o quadrado dentro:
Distribuindo o sinal:
Portanto podemos reescrever a integral como
Passo 3
Fazemos a substituição simples
. Isso é só um deslocamento, útil porque agora o integrando fica na forma
.
Calcule:
Calcule:
Substituindo na integral obtemos
Aqui já simplificamos bastante: a integral tem a forma padrão com
, logo
.
Passo 4
Agora uso a fórmula básica (e explico por que ela vale): a primitiva conhecida é
para
e
. Por que isso funciona? Derivando a função do lado direito:
que é exatamente o integrando. Assim a fórmula é válida.
Passo 5
Aplicamos a fórmula com
. Temos
Voltando à variável original
(lembre que
):
válido para
(onde o argumento de
fica em
).
Passo 6
Comentário final rápido e encorajador: outra forma equivalente é usar
— por exemplo
ou escrever em termos de
. Mas a expressão em termos de
é a mais direta aqui. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!