Calcule
\int \frac{d x}{\sqrt{6 x-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{6x - x^{2}}}.
Informações dadas/observações iniciais:
  • A função integranda é x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{6x - x^{2}}}.
  • O radicando é 6x - x^{2}. Para que a raiz quadrada seja real precisamos de 6x - x^{2} \ge 0, ou seja 0 \le x \le 6. (Isso dá a restrição natural do domínio da primitiva real.)
  • O problema pede a primitiva geral (integral indefinida), então devemos obter uma expressão em x mais uma constante de integração C.
  • Não existe pedido explícito de método no enunciado, então escolhemos um método conveniente: manipular o radicando para reconhecer uma forma padrão integrável.

Passo 2

Vamos reescrever o radicando completando o quadrado para deixar a expressão num formato padrão. Calculemos:
6x - x^{2} = -x^{2} + 6x.
Agora completamos o quadrado dentro:
-x^{2} + 6x = -\bigl(x^{2} - 6x\bigr) = -\bigl((x-3)^{2} - 9\bigr).
Distribuindo o sinal:
-x^{2} + 6x = 9 - (x-3)^{2}.
Portanto podemos reescrever a integral como
\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x-3)^{2}}}.

Passo 3

Fazemos a substituição simples u = x-3. Isso é só um deslocamento, útil porque agora o integrando fica na forma \sqrt{a^{2}-u^{2}}.
Calcule:
u = x-3 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{9 - (x-3)^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{9 - u^{2}}}.
Aqui já simplificamos bastante: a integral tem a forma padrão com a^{2}=9, logo a=3.

Passo 4

Agora uso a fórmula básica (e explico por que ela vale): a primitiva conhecida é
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right) + C,
para a>0 e |u|\le a. Por que isso funciona? Derivando a função do lado direito:
\frac{d}{du}\left[\arcsin\!\left(\frac{u}{a}\right)\right] = \frac{1}{\sqrt{1-(u/a)^{2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a\sqrt{\frac{a^{2}-u^{2}}{a^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}},
que é exatamente o integrando. Assim a fórmula é válida.

Passo 5

Aplicamos a fórmula com a=3. Temos
\int \frac{du}{\sqrt{9 - u^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
Voltando à variável original x (lembre que u=x-3):
\int \frac{dx}{\sqrt{6x - x^{2}}} = \arcsin\!\left(\frac{x-3}{3}\right) + C,
válido para 0 \le x \le 6 (onde o argumento de \arcsin fica em [-1,1]).

Passo 6

Comentário final rápido e encorajador: outra forma equivalente é usar \operatorname{arccos} — por exemplo
\arcsin\!\left(\frac{x-3}{3}\right) = \frac{\pi}{2} - \operatorname{arccos}\!\left(\frac{x-3}{3}\right),
ou escrever em termos de \operatorname{arccos}\!\bigl(\frac{3-x}{3}\bigr). Mas a expressão em termos de \arcsin é a mais direta aqui. Vai dar tudo certo na prova — respira e confia no processo!

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x-3}{3}\right)+C

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