(2) Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos (z) \operatorname{sen}^{5}(z) d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(z)\,\sin^{5}(z)\,dz.
O conteúdo principal é a técnica de substituição, já que vemos \cos(z) que é a derivada de \sin(z). Vamos usar isso para transformar a integral num polinômio em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin(z), \qquad du = \cos(z)\,dz.
Ao mudar os limites: quando z=0 temos u=\sin(0)=0; quando z=\tfrac{\pi}{6} temos u=\sin(\tfrac{\pi}{6})=\tfrac12. Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(z)\,\sin^{5}(z)\,dz = \int_{0}^{\tfrac12} u^{5}\,du.

Passo 3

Agora integramos o polinômio em u. A antiderivada de u^{5} é
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}.
Portanto
\int_{0}^{\tfrac12} u^{5}\,du = \left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{0}^{\tfrac12}.

Passo 4

Basta avaliar nos limites:
\frac{\bigl(\tfrac12\bigr)^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6} = \frac{1}{2^{6}\cdot 6} = \frac{1}{64\cdot 6} = \frac{1}{384}.

Resposta

\frac{1}{384}

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