Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sec}^{2} x \, dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: 0 e \frac{\pi}{4}.
  • Integrando: \operatorname{sec}^{2} x.
    O que devemos entregar: o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos reconhecer uma relação básica entre funções trigonométricas e derivadas que nos ajuda aqui. Lembre que
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Para ver por que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2} x, fazemos a regra do quociente: se f(x)=\sin x e g(x)=\cos x, então
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2} x}.
Simplificando o numerador:
\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1,
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\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^{2} x}=\operatorname{sec}^{2} x.
Ou seja, a derivada de \tan x é exatamente \operatorname{sec}^{2} x.

Passo 3

A partir do passo anterior, sabemos a antiderivada (primitiva) de \operatorname{sec}^{2} x: é \tan x (mais constante). Em notação de integrais indefinidas,
\int \operatorname{sec}^{2} x \, dx = \tan x + C.
Essa é a fórmula fundamental que vamos usar para avaliar a integral definida.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida, substituímos a primitiva nos limites:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sec}^{2} x \, dx = \left[\tan x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0).

Passo 5

Agora calculamos os valores das tangentes nos limites. Pelo círculo trigonométrico:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1
e
\tan(0)=0.
Portanto
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\tan(0)=1-0=1.

Passo 6

Como checagem alternativa (opcional, mas boa prática): faça a substituição u=\tan x. Então du=\operatorname{sec}^{2} x\,dx. Os limites em u vão de u(0)=\tan 0=0 até u(\pi/4)=\tan(\pi/4)=1. A integral vira
\int_{0}^{1} du = [u]_{0}^{1}=1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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