Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sec} ^{2} x d x
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{sec} ^{2} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
e . - Integrando:
.
O que devemos entregar: o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos reconhecer uma relação básica entre funções trigonométricas e derivadas que nos ajuda aqui. Lembre que
Para ver por que a derivada de
é
, fazemos a regra do quociente: se
e
, então
Simplificando o numerador:
logo
Ou seja, a derivada de
é exatamente
.
Passo 3
A partir do passo anterior, sabemos a antiderivada (primitiva) de
: é
(mais constante). Em notação de integrais indefinidas,
Essa é a fórmula fundamental que vamos usar para avaliar a integral definida.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a integral definida, substituímos a primitiva nos limites:
Passo 5
Agora calculamos os valores das tangentes nos limites. Pelo círculo trigonométrico:
e
Portanto
Passo 6
Como checagem alternativa (opcional, mas boa prática): faça a substituição
. Então
. Os limites em
vão de
até
. A integral vira
confirmando o resultado anterior.