Calcule.
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A função a integrar é 3^{x} e^{x}.
  • Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Primeira ideia útil (fórmula que vou usar): para qualquer base positiva a temos
a^{x} = e^{x\ln a}.
Explicação didática: lembramos que \ln a é o logaritmo natural de a, e como e^{\ln a}=a segue que a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\ln a}. Vou aplicar isso a 3^{x}.

Passo 3

Usando a fórmula anterior escrevo 3^{x} como uma exponencial com base e:
3^{x} = e^{x\ln 3}.
Portanto o integrando fica
3^{x} e^{x} = e^{x\ln 3}\cdot e^{x}.

Passo 4

Agora uso a propriedade de potências/exponenciais: e^{A}e^{B}=e^{A+B}. Assim
e^{x\ln 3}\cdot e^{x} = e^{x(\ln 3 + 1)}.
Logo a integral transforma-se em
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x}\,dx = \int_{0}^{1} e^{x(\ln 3 + 1)}\,dx.

Passo 5

Integro a exponencial e^{k x} com k constante usando a regra básica:
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}e^{k x} + C,
porque derivando \frac{1}{k}e^{k x} fica e^{k x}. Aqui tomo
k = \ln 3 + 1.
Portanto a primitiva é \dfrac{e^{x(\ln 3 + 1)}}{\ln 3 + 1}. Aplicando os limites de 0 a 1 obtenho
\int_{0}^{1} e^{x(\ln 3 + 1)}\,dx = \left[\frac{e^{x(\ln 3 + 1)}}{\ln 3 + 1}\right]_{0}^{1} = \frac{e^{1(\ln 3 + 1)} - e^{0(\ln 3 + 1)}}{\ln 3 + 1}.

Passo 6

Calculo os expoentes: e^{0(\ln 3 + 1)} = e^{0} = 1. Para e^{1(\ln 3 + 1)} uso que e^{\ln 3 + 1} = e^{\ln 3}\cdot e^{1} = 3e. Então
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x}\,dx = \frac{3e - 1}{\ln 3 + 1}.
Observação rápida: \ln 3 + 1 é diferente de zero (na verdade é positivo), então a divisão é válida.

Resposta

\dfrac{3e-1}{1+\ln 3}

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