Calcule.
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x} d x
\int_{0}^{1} 3^{x} e^{x} d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
. - Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Primeira ideia útil (fórmula que vou usar): para qualquer base positiva
temos
Explicação didática: lembramos que
é o logaritmo natural de
, e como
segue que
. Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Usando a fórmula anterior escrevo
como uma exponencial com base
:
Portanto o integrando fica
Passo 4
Agora uso a propriedade de potências/exponenciais:
. Assim
Logo a integral transforma-se em
Passo 5
Integro a exponencial
com
constante usando a regra básica:
porque derivando
fica
. Aqui tomo
Portanto a primitiva é
. Aplicando os limites de
a
obtenho
Passo 6
Calculo os expoentes:
. Para
uso que
. Então
Observação rápida:
é diferente de zero (na verdade é positivo), então a divisão é válida.