Calcule:
A=\int_{0}^{+\infty} x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{-9 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
A = \int_{0}^{\infty} x^{\frac{3}{2}} e^{-9x}\,dx.
Este tipo de integral é resolvido usando a função Gama.

Passo 2

Lembramos a fórmula da integral de Gama generalizada:
\int_{0}^{\infty} x^{a-1} e^{-b x}\,dx = \frac{\Gamma(a)}{b^{a}},\quad b>0.

Passo 3

No nosso caso temos x^{\frac{3}{2}} = x^{a-1}, logo
a-1 = \frac{3}{2}\quad\Longrightarrow\quad a = \frac{5}{2},
e b = 9. Assim,
A = \frac{\Gamma\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)}{9^{\frac{5}{2}}}.

Passo 4

Usamos a relação \Gamma(z+1)=z\,\Gamma(z) e \Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt\pi:
\Gamma\Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr) = \frac{3}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\,\Gamma\Bigl(\tfrac12\Bigr) = \frac{3}{4}\,\sqrt\pi.

Passo 5

Substituindo em A:
A = \frac{\frac{3}{4}\sqrt\pi}{9^{\frac{5}{2}}} = \frac{3\sqrt\pi}{4\cdot 9^{2}\cdot 9^{\frac12}} = \frac{3\sqrt\pi}{4\cdot 81\cdot 3} = \frac{\sqrt\pi}{324}.

Resposta

A = \frac{\sqrt\pi}{324}.

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