Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa): a presença de
multiplicando
sugere que podemos usar uma substituição simples, porque a derivada de
é exatamente
. Isso nos permite transformar a integral em algo do tipo
, que é muito mais fácil de calcular. Vou mostrar a justificativa da derivada para ficar seguro.
Passo 3
Prova rápida (e útil) de que a derivada de
é
:
. Aplicando a regra do quociente:
Portanto
, como esperado.
Passo 4
Fazer a substituição apropriada (u-substituição). Definimos a nova variável
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Note que isso aparece exatamente no integrando como fator multiplicador de
, então a substituição vai simplificar a integral.
Passo 5
Transformar os limites de integração para a variável
:
- Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral com limites em
passa a ter limites em
de
a
.
Passo 6
Reescrever a integral em
. Substituindo
por
e
por
, obtemos
Passo 7
Calcular a integral em
. Usamos a regra do potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Como é integral definida, avaliamos entre
e
: