Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg} x .(\operatorname{sec} x)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{sec} x)^{2}\, dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{sec} x)^{2}.
  • Os limites de integração são x=0 e x=\frac{\pi}{4}.
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observação sobre a estrutura do integrando (por que isso importa): a presença de (\operatorname{sec} x)^{2} multiplicando \operatorname{tg} x sugere que podemos usar uma substituição simples, porque a derivada de \operatorname{tg} x é exatamente (\operatorname{sec} x)^{2}. Isso nos permite transformar a integral em algo do tipo \int u\,du, que é muito mais fácil de calcular. Vou mostrar a justificativa da derivada para ficar seguro.

Passo 3

Prova rápida (e útil) de que a derivada de \operatorname{tg} x é (\operatorname{sec} x)^{2}:
\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = (\operatorname{sec} x)^{2}.
Portanto \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{tg} x\big)=(\operatorname{sec} x)^{2}, como esperado.

Passo 4

Fazer a substituição apropriada (u-substituição). Definimos a nova variável
u=\operatorname{tg} x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du=(\operatorname{sec} x)^{2}\,dx.
Note que isso aparece exatamente no integrando como fator multiplicador de \operatorname{tg} x, então a substituição vai simplificar a integral.

Passo 5

Transformar os limites de integração para a variável u:
  • Quando x=0, temos u=\operatorname{tg}0=0.
  • Quando x=\dfrac{\pi}{4}, temos u=\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1.
Portanto a integral com limites em x passa a ter limites em u de 0 a 1.

Passo 6

Reescrever a integral em u. Substituindo \operatorname{tg} x por u e (\operatorname{sec} x)^{2}\,dx por du, obtemos
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{sec} x)^{2}\, dx = \int_{0}^{1} u\, du.

Passo 7

Calcular a integral em u. Usamos a regra do potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=1, então
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}.
Como é integral definida, avaliamos entre 0 e 1:
\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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