Utilize a definição de integral (somatório, limite,…) para encontrar das regiões limitadas pelas curvas:
(a) f(x)=x-4, x=1, x=3 e y=0.
(b) f(x)=x^{2}, x=0, x=1 e y=0. Quando necessário use: que
\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
Agora resolva os itens anteriores utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as áreas das regiões limitadas por curvas nos dois casos abaixo. Lista das perguntas e informações dadas:
(a) As curvas são y=f(x)=x-4, x=1, x=3 e y=0. Ou seja, a região é a parte do plano entre o gráfico de y=x-4, as retas verticais x=1 e x=3 e o eixo y=0.
(b) As curvas são y=f(x)=x^{2}, x=0, x=1 e y=0. Ou seja, a região é a parte do plano entre o gráfico de y=x^{2}, as retas verticais x=0 e x=1 e o eixo y=0.
Não começamos a calcular ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados que o enunciado deu.

Passo 2

Explicando a definição de integral (Riemann) que vamos usar: para uma função f contínua em um intervalo [a,b], dividimos [a,b] em n subintervalos com pontos x_{0}=a<x_{1}<\dots<x_{n}=b. O tamanho de cada subintervalo (quando iguais) é
\Delta x=\frac{b-a}{n}.
Em cada subintervalo escolhemos um ponto de amostragem x_{i}^{*} e formamos a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\,\Delta x.
A integral definida é o limite dessas somas quando n\to\infty:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_{n}.
Se f fica abaixo do eixo x em [a,b], a integral será negativa; a área geométrica entre a curva e o eixo x é -\int_{a}^{b} f(x)\,dx (ou, mais geral, integral da função superior menos a inferior). Vou aplicar essa definição nos itens.

Passo 3

Resolvendo (a) por Riemann: funções e intervalos
  • f(x)=x-4 no intervalo [1,3].
  • Observação importante: em [1,3] temos f(1)= -3 e f(3)=-1, logo f(x) está abaixo do eixo x (ou seja, f(x)\le 0 ali). Portanto a integral \int_{1}^{3} f(x)\,dx será negativa e a área procurada é -\int_{1}^{3} f(x)\,dx.
Escolha do particionamento e pontos
  • Dividimos [1,3] em n subintervalos iguais: \Delta x=\dfrac{3-1}{n}=\dfrac{2}{n}.
  • Vou escolher os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo:
x_{i}=1+i\Delta x=1+i\cdot\frac{2}{n},\qquad i=1,2,\dots,n.
Construindo a soma de Riemann para \int_{1}^{3} f(x)\,dx
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-4\bigr)\cdot\frac{2}{n}.
Agora calculamos \sum_{i=1}^{n} x_{i}. Como x_{i}=1+\dfrac{2i}{n},
\sum_{i=1}^{n} x_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{2i}{n}\right) =\sum_{i=1}^{n}1+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}i =n+\frac{2}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}.
Simplificando,
\sum_{i=1}^{n} x_{i}=n+(n+1)=2n+1.
Então
\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}-4\bigr)=(2n+1)-4n=1-2n.
Multiplicando por \dfrac{2}{n} obtemos a soma de Riemann
S_{n}=\left(1-2n\right)\cdot\frac{2}{n}=\frac{2-4n}{n}= \frac{2}{n}-4.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\int_{1}^{3} (x-4)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{n}-4\right)=-4.
Como a função está abaixo do eixo x, a área geométrica da região é
\text{Área}_{(a)}=-\int_{1}^{3} (x-4)\,dx=-(-4)=4.Á

Passo 4

Resolvendo (b) por Riemann: funções e intervalo
  • f(x)=x^{2} no intervalo [0,1]. Aqui f(x)\ge 0 em [0,1], então a área é simplesmente \int_{0}^{1} x^{2}\,dx.
Particionamento e escolha dos pontos
  • Dividimos [0,1] em n subintervalos iguais: \Delta x=\dfrac{1-0}{n}=\dfrac{1}{n}.
  • Usamos os extremos direitos como pontos de amostragem:
x_{i}=0+i\Delta x=\frac{i}{n},\qquad i=1,\dots,n.
Construindo a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i})\,\Delta x =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{n} =\frac{1}{n^{3}}\sum_{i=1}^{n} i^{2}.
Aqui usamos a soma dada no enunciado:
\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Então
S_{n}=\frac{1}{n^{3}}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}.
Tomando limite n\to\infty. Para ver o comportamento dominante, expandimos numerador e dividimos por n^{2}:
\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}=\frac{2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\frac{1}{3},
que é a área da região do item (b).

Passo 5

Agora resolvemos os dois itens usando o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática). Primeiro lembro rapidamente do enunciado usado: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Isso transforma o cálculo de limite de somas numa conta com primitivadas — é a ferramenta que normalmente usamos na prova para economizar tempo.
Aplicando ao item (a)
  • Uma primitiva de f(x)=x-4 é F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-4x (pois F'(x)=x-4). Então
\int_{1}^{3} (x-4)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4x\right]_{1}^{3} =\left(\frac{9}{2}-12\right)-\left(\frac{1}{2}-4\right).
Calculando:
\frac{9}{2}-12=\frac{9-24}{2}=-\frac{15}{2},\qquad \frac{1}{2}-4=\frac{1-8}{2}=-\frac{7}{2},
então
\int_{1}^{3} (x-4)\,dx=-\frac{15}{2}-\left(-\frac{7}{2}\right)=-\frac{8}{2}=-4.
Como f está abaixo do eixo, a área é -(-4)=4, mesmo resultado do passo com Riemann.
Aplicando ao item (b)
  • Uma primitiva de f(x)=x^{2} é F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}. Logo
\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3},
que confere com o cálculo por somas.

Passo 6

Resumo didático (dicas rápidas para a prova):
  • Para calcular área entre y=f(x) e o eixo x em [a,b]:
    • Se f(x)\ge 0 em [a,b] então área =\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
    • Se f(x)\le 0 em [a,b] então área =-\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Se o enunciado exige usar definição, monte a partição, escolha \Delta x, expresse x_{i} e calcule \sum f(x_{i})\Delta x, usando fórmulas conhecidas para \sum i, \sum i^{2}, etc., e tome o limite.
  • Se puder usar o Teorema Fundamental do Cálculo, encontre uma primitiva F e calcule F(b)-F(a). É bem mais rápido na prova.

Resposta

(a) \;4
(b) \;\dfrac{1}{3}

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