Utilize a definição de integral (somatório, limite,…) para encontrar das regiões limitadas pelas curvas:
(a) f(x)=x-4, x=1, x=3 e y=0.
(b) f(x)=x^{2}, x=0, x=1 e y=0. Quando necessário use: que
\sum_{i=1}^{n} i^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
Agora resolva os itens anteriores utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as áreas das regiões limitadas por curvas nos dois casos abaixo. Lista das perguntas e informações dadas:
(a) As curvas são y=f(x)=x-4, x=1, x=3 e y=0. Ou seja, a região é a parte do plano entre o gráfico de y=x-4, as retas verticais x=1 e x=3 e o eixo y=0.
(b) As curvas são y=f(x)=x^{2}, x=0, x=1 e y=0. Ou seja, a região é a parte do plano entre o gráfico de y=x^{2}, as retas verticais x=0 e x=1 e o eixo y=0.
Não começamos a calcular ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados que o enunciado deu.
Passo 2
Explicando a definição de integral (Riemann) que vamos usar: para uma função f contínua em um intervalo [a,b], dividimos [a,b] em n subintervalos com pontos x_{0}=a<x_{1}<\dots<x_{n}=b. O tamanho de cada subintervalo (quando iguais) é
\Delta x=\frac{b-a}{n}.
Em cada subintervalo escolhemos um ponto de amostragem x_{i}^{*} e formamos a soma de Riemann
S_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\,\Delta x.
A integral definida é o limite dessas somas quando n\to\infty:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty} S_{n}.
Se f fica abaixo do eixo x em [a,b], a integral será negativa; a área geométrica entre a curva e o eixo x é -\int_{a}^{b} f(x)\,dx (ou, mais geral, integral da função superior menos a inferior). Vou aplicar essa definição nos itens.
Passo 3
Resolvendo (a) por Riemann: funções e intervalos
f(x)=x-4 no intervalo [1,3].
Observação importante: em [1,3] temos f(1)= -3 e f(3)=-1, logo f(x) está abaixo do eixo x (ou seja, f(x)\le 0 ali). Portanto a integral \int_{1}^{3} f(x)\,dx será negativa e a área procurada é -\int_{1}^{3} f(x)\,dx.
Escolha do particionamento e pontos
Dividimos [1,3] em n subintervalos iguais: \Delta x=\dfrac{3-1}{n}=\dfrac{2}{n}.
Vou escolher os pontos de amostragem como os extremos direitos de cada subintervalo:
Agora resolvemos os dois itens usando o Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática). Primeiro lembro rapidamente do enunciado usado: se F é uma primitiva de f (ou seja, F'(x)=f(x)), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a).
Isso transforma o cálculo de limite de somas numa conta com primitivadas — é a ferramenta que normalmente usamos na prova para economizar tempo.
Aplicando ao item (a)
Uma primitiva de f(x)=x-4 é F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-4x (pois F'(x)=x-4). Então
Para calcular área entre y=f(x) e o eixo x em [a,b]:
Se f(x)\ge 0 em [a,b] então área =\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Se f(x)\le 0 em [a,b] então área =-\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Se o enunciado exige usar definição, monte a partição, escolha \Delta x, expresse x_{i} e calcule \sum f(x_{i})\Delta x, usando fórmulas conhecidas para \sum i, \sum i^{2}, etc., e tome o limite.
Se puder usar o Teorema Fundamental do Cálculo, encontre uma primitiva F e calcule F(b)-F(a). É bem mais rápido na prova.