Calcule
\int_{0}^{\ln 4} \frac{e^{t} d t}{\sqrt{e^{2 t}+9}} ;\quad \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais definidas. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{\ln 4} \frac{e^{t}\,dt}{\sqrt{e^{2t}+9}}.
  • Calcular \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}.
Os limites de integração estão explícitos em cada integral. Não há outras informações externas. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Resolver a primeira integral passo a passo. Observação: quando aparece e^{t} e e^{2t} é natural tentar a substituição u=e^{t} porque du=e^{t}dt. Faço essa substituição explicitamente:
u = e^{t}\quad\Rightarrow\quad du = e^{t}\,dt.
Os limites mudam: se t=0 então u=e^{0}=1; se t=\ln 4 então u=e^{\ln 4}=4. Substituindo na integral:
\int_{0}^{\ln 4} \frac{e^{t}\,dt}{\sqrt{e^{2t}+9}} = \int_{u=1}^{u=4} \frac{du}{\sqrt{u^{2}+9}}.
Ou seja, a integral reduziu-se a \displaystyle \int_{1}^{4}\frac{du}{\sqrt{u^{2}+3^{2}}}.

Passo 3

Explicação da técnica para integrar \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}. Há duas maneiras comuns de ver isso: (i) usar substituição hiperbólica u=a\operatorname{sinh} v, ou (ii) reconhecer a primitiva conhecida
\frac{d}{du}\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Vou mostrar rapidamente a verificação da igualdade (ii): calcule a derivada
\frac{d}{du}\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr) =\frac{1+\dfrac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}}{u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}} =\frac{\sqrt{u^{2}+a^{2}}+u}{\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr)\sqrt{u^{2}+a^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Portanto uma primitiva é \displaystyle \ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr). Aqui a=3.

Passo 4

Aplicando a primitiva ao caso a=3:
\int_{1}^{4}\frac{du}{\sqrt{u^{2}+9}} =\left.\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+9}\bigr)\right|_{1}^{4} =\ln\!\bigl(4+\sqrt{4^{2}+9}\bigr)-\ln\!\bigl(1+\sqrt{1^{2}+9}\bigr).
Calculo os radicais: \sqrt{4^{2}+9}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 e \sqrt{1^{2}+9}=\sqrt{10}. Assim
\ln(4+5)-\ln(1+\sqrt{10})=\ln 9-\ln(1+\sqrt{10}).
Fatorizando/rasionalizando observa-se que
\frac{9}{1+\sqrt{10}}=\frac{9( \sqrt{10}-1)}{(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)}=\frac{9(\sqrt{10}-1)}{10-1}=\sqrt{10}-1.
Logo a expressão vale \ln(\sqrt{10}-1). Assim a primeira integral é \displaystyle \ln(\sqrt{10}-1).

Passo 5

Agora resolver a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}\). Método: decomposição em frações parciais. Procuro constantes \(A,B,C\) tais que \[\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade
1 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1).
Expando o lado direito:
1 = A x^{2}+A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos por potências de x:
1 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (ou seja: coeficiente de x^{2} é 0, de x é 0, constante é 1), obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=0,\\[4pt] A+C=1. \end{cases}
Da primeira B=-A\]. Da segunda \(C=-B=A. Substituindo na terceira: A+C=A+A=2A=1 então A=\tfrac{1}{2}. Assim B=-\tfrac{1}{2} e C=\tfrac{1}{2}.]

Passo 6

Reescrevo a integral com os coeficientes encontrados:
\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1/2}{x+1}+\frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{x^{2}+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}.
Integro termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|x+1|.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}\,dx. Use a substituição w=x^{2}+1 ou note que \frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{2x}{x^{2}+1}. Assim
\int -\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = -\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1).
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\arctan x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln(x^{2}+1)+\frac{1}{2}\arctan x.

Passo 7

Avalio F nos limites de 0 a 1:
F(1)=\frac{1}{2}\ln 2 -\frac{1}{4}\ln 2 +\frac{1}{2}\arctan 1 =\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\ln 2 +\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{1}{4}\ln 2 +\frac{\pi}{8}.
F(0)=\frac{1}{2}\ln 1 -\frac{1}{4}\ln 1 +\frac{1}{2}\arctan 0 = 0.
Logo a integral vale F(1)-F(0)=\dfrac{1}{4}\ln 2 + \dfrac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \ln(\sqrt{10}-1)
\displaystyle \frac{1}{4}\ln 2 + \frac{\pi}{8}

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