Os limites de integração estão explícitos em cada integral. Não há outras informações externas. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Resolver a primeira integral passo a passo. Observação: quando aparece e^{t} e e^{2t} é natural tentar a substituição u=e^{t} porque du=e^{t}dt. Faço essa substituição explicitamente:
u = e^{t}\quad\Rightarrow\quad du = e^{t}\,dt.
Os limites mudam: se t=0 então u=e^{0}=1; se t=\ln 4 então u=e^{\ln 4}=4. Substituindo na integral:
Ou seja, a integral reduziu-se a \displaystyle \int_{1}^{4}\frac{du}{\sqrt{u^{2}+3^{2}}}.
Passo 3
Explicação da técnica para integrar \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}. Há duas maneiras comuns de ver isso: (i) usar substituição hiperbólica u=a\operatorname{sinh} v, ou (ii) reconhecer a primitiva conhecida
Logo a expressão vale \ln(\sqrt{10}-1). Assim a primeira integral é \displaystyle \ln(\sqrt{10}-1).
Passo 5
Agora resolver a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)(x^{2}+1)}\). Método: decomposição em frações parciais. Procuro constantes \(A,B,C\) tais que
\[\frac{1}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1) obtemos a identidade
1 = A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x+1).
Expando o lado direito:
1 = A x^{2}+A + Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Agrupando termos por potências de x:
1 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Comparando coeficientes com o polinômio constante 1 (ou seja: coeficiente de x^{2} é 0, de x é 0, constante é 1), obtemos o sistema: