Calcule
\int \operatorname{sen}^{2} x \cos ^{2} x d x ;\quad \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} ;\quad \int x(\ln x)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular três integrais indefinidas:
  • \displaystyle \int \operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x\,dx.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
  • \displaystyle \int x(\ln x)^{2}\,dx.
Informações relevantes e observações iniciais:
  • Em todas as integrais queremos a primitiva (função cujo derivada é o integrando) mais a constante de integração C.
  • Para as integrais que envolvem \ln x é necessário que x>0 (domínio onde \ln x está definido), então as manipulações com substituição assumir-se-ão com x>0.

Passo 2

Resolverei a primeira integral \displaystyle \int \operatorname{sen}^{2}x\cos^{2}x\,dx.
Primeiro, uso uma identidade trigonométrica para simplificar a potência mista. Lembre:
\sin(2x)=2\sin x\cos x,
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\sin^{2}x\cos^{2}x=\left(\sin x\cos x\right)^{2}=\left(\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right)^{2}=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2x).
Agora uso a identidade de redução da potência:
\sin^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2\theta)\bigr).
Aplicando com \theta=2x temos
\sin^{2}(2x)=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(4x)\bigr).
Substituindo tudo de volta no integrando:
\sin^{2}x\cos^{2}x=\tfrac{1}{4}\sin^{2}(2x)=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(4x)\bigr)=\tfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(4x)\bigr).

Passo 3

Agora integro a forma simplificada:
\int \sin^{2}x\cos^{2}x\,dx=\int \tfrac{1}{8}\bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx.
Separe termos e integre termoa a termo:
\int \tfrac{1}{8}\,dx=\tfrac{1}{8}x,
\int \tfrac{1}{8}\bigl(-\cos(4x)\bigr)\,dx=-\tfrac{1}{8}\int \cos(4x)\,dx.
Para integrar \cos(4x) usamos que \int \cos(ax)\,dx=\tfrac{1}{a}\sin(ax). Assim
\int \cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{4}\sin(4x).
Portanto
-\tfrac{1}{8}\int \cos(4x)\,dx=-\tfrac{1}{8}\cdot\tfrac{1}{4}\sin(4x)=-\tfrac{1}{32}\sin(4x).
Somando os termos e adicionando C:
\int \sin^{2}x\cos^{2}x\,dx=\tfrac{1}{8}x-\tfrac{1}{32}\sin(4x)+C.

Passo 4

Agora a segunda integral \displaystyle \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Escolho a substituição natural para expressões com \ln x: seja
u=\ln x.
Derivando, como du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos dx=\!x\,du mas o que interessa é que \dfrac{dx}{x}=du. Então a parte \dfrac{1}{x}\,dx do integrando é exatamente du. Substituindo:
\int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u^{2}}\,du.
Integro \displaystyle \int u^{-2}\,du. A primitiva de u^{n} (com n\neq -1) é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du=\frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1} = -\frac{1}{u}.
Voltando à variável original x usando u=\ln x:
\int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx = -\frac{1}{\ln x}+C.

Passo 5

Por fim, a terceira integral \displaystyle \int x(\ln x)^{2}\,dx.
Para integrais do tipo polinômio em x multiplicado por potências de \ln x, um método eficiente é integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos a fim de simplificar \int v\,du.
Escolho inicialmente
u=(\ln x)^{2},\qquad dv=x\,dx.
Calculo du e v:
du = 2\ln x\cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln x}{x}\,dx, \qquad v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando integração por partes:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx.
Simplificando dentro da integral:
\frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{2\ln x}{x} = x\ln x,
portanto
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \int x\ln x\,dx.

Passo 6

Falta integrar \displaystyle \int x\ln x\,dx. Uso integração por partes de novo, escolhendo:
u=\ln x,\qquad dv=x\,dx.
Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.
A integral \int \frac{x}{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}. Assim
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 7

Volto à expressão da Passo 5:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \Bigl(\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\Bigr) + C.
Distribuindo o sinal negativo e combinando termos:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2} - \frac{x^{2}}{2}\ln x + \frac{x^{2}}{4} + C.
Se quiser, pode fatorar \dfrac{x^{2}}{4}:
\int x(\ln x)^{2}\,dx = \frac{x^{2}}{4}\bigl(2(\ln x)^{2}-2\ln x +1\bigr) + C,
mas a forma sem fatorar já é uma resposta correta.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{8}x-\tfrac{1}{32}\sin(4x)+C
\displaystyle -\dfrac{1}{\ln x}+C
\displaystyle \dfrac{x^{2}}{2}(\ln x)^{2}-\dfrac{x^{2}}{2}\ln x+\dfrac{x^{2}}{4}+C

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