Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular três integrais indefinidas:
-
. -
. -
.
Informações relevantes e observações iniciais:
- Em todas as integrais queremos a primitiva (função cujo derivada é o integrando) mais a constante de integração
. - Para as integrais que envolvem
é necessário que (domínio onde está definido), então as manipulações com substituição assumir-se-ão com .
Passo 2
Resolverei a primeira integral
.
Primeiro, uso uma identidade trigonométrica para simplificar a potência mista. Lembre:
Primeiro, uso uma identidade trigonométrica para simplificar a potência mista. Lembre:
logo
Agora uso a identidade de redução da potência:
Aplicando com
temos
Substituindo tudo de volta no integrando:
Passo 3
Agora integro a forma simplificada:
Separe termos e integre termoa a termo:
Para integrar
usamos que
. Assim
Portanto
Somando os termos e adicionando
:
Passo 4
Agora a segunda integral
.
Escolho a substituição natural para expressões com : seja
Escolho a substituição natural para expressões com
Derivando, como
, obtemos
mas o que interessa é que
. Então a parte
do integrando é exatamente
. Substituindo:
Integro
. A primitiva de
(com
) é
. Aqui
, então
Voltando à variável original
usando
:
Passo 5
Por fim, a terceira integral
.
Para integrais do tipo polinômio em multiplicado por potências de
, um método eficiente é integração por partes. Recordando a fórmula de integração por partes:
Para integrais do tipo polinômio em
onde
e
são escolhidos a fim de simplificar
.
Escolho inicialmente
Calculo
e
:
Aplicando integração por partes:
Simplificando dentro da integral:
portanto
Passo 6
Falta integrar
. Uso integração por partes de novo, escolhendo:
Então
Aplicando a fórmula:
A integral
. Assim
Passo 7
Volto à expressão da Passo 5:
Distribuindo o sinal negativo e combinando termos:
Se quiser, pode fatorar
:
mas a forma sem fatorar já é uma resposta correta.