Calcule
\int \cos ^{4} x d x ;\quad \int \operatorname{sen} x \operatorname{sen}(3 x) d x ;\quad \int \cos (3 x) \cos (7 x) d x;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule três integrais indefinidas:
  • \displaystyle \int \cos^{4} x\, dx.
  • \displaystyle \int \operatorname{sen} x\;\operatorname{sen}(3x)\, dx.
  • \displaystyle \int \cos(3x)\;\cos(7x)\, dx.
Informações fornecidas: apenas as funções trigonométricas dentro das integrais. O objetivo é achar antiderivadas (indefinidas), cada uma com sua constante de integração.

Passo 2

Ferramentas que vou usar (vou explicar cada uma):
  1. Identidade de redução de potência para cosseno: usa-se que
\cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Essa identidade é derivada da fórmula da duplicação para cosseno, obtida de \cos(2u)=2\cos^{2}u-1, isolando \cos^{2}u.
  1. Produto de senos e cossenos em somas de cossenos (fórmulas produto-para-soma):
\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B=\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr],
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Essas fórmulas vêm das identidades de suma/diferença para cosseno:
\cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B; isolando o termo desejado obtém-se as fórmulas acima.
  1. Integral de cosseno simples:
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C,
onde k é constante (porque \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(kx)=k\cos(kx)).
Vou aplicar essas ferramentas em cada integral.

Passo 3

Primeiro escrevo \cos^{4}x=(\cos^{2}x)^{2}. Uso a identidade de redução de potência para \cos^{2}x:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Então
\cos^{4}x=\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{2}.
Desenvolvo o quadrado:
\cos^{4}x=\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)\bigr).
Ainda tem \cos^{2}(2x), aplico a identidade novamente com u=2x:
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2}.
Substituo:
\cos^{4}x=\frac{1}{4}\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right).
Simplifico termos constantes e coeficientes:
\cos^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x).
Agora integro termo a termo:
\int \cos^{4}x\,dx=\int\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right)dx.
Calculo cada integral usando \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx):
\int \frac{3}{8}\,dx=\frac{3}{8}x, \qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x),
\int \frac{1}{8}\cos(4x)\,dx=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)=\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x).
Somando e incluindo a constante C:
\int \cos^{4}x\,dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x)+C.

Passo 4

Aplico a fórmula produto-para-soma com A=x e B=3x:
\operatorname{sen} x\operatorname{sen}(3x)=\frac{1}{2}\bigl[\cos(x-3x)-\cos(x+3x)\bigr] =\frac{1}{2}\bigl[\cos(-2x)-\cos(4x)\bigr].
Como \cos(-2x)=\cos(2x), isso dá
\operatorname{sen} x\operatorname{sen}(3x)=\frac{1}{2}\bigl[\cos(2x)-\cos(4x)\bigr].
Integro:
\int \operatorname{sen} x\operatorname{sen}(3x)\,dx=\frac{1}{2}\int\bigl[\cos(2x)-\cos(4x)\bigr]dx.
Calculo:
\frac{1}{2}\left(\int\cos(2x)\,dx-\int\cos(4x)\,dx\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)-\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)\right)+C.
Multiplicando:
\int \operatorname{sen} x\operatorname{sen}(3x)\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)-\frac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+C.

Passo 5

Uso a fórmula produto-para-soma para cosenos com A=3x, B=7x:
\cos(3x)\cos(7x)=\frac{1}{2}\bigl[\cos(3x-7x)+\cos(3x+7x)\bigr] =\frac{1}{2}\bigl[\cos(-4x)+\cos(10x)\bigr].
Como \cos(-4x)=\cos(4x), fica
\cos(3x)\cos(7x)=\frac{1}{2}\bigl[\cos(4x)+\cos(10x)\bigr].
Então
\int \cos(3x)\cos(7x)\,dx=\frac{1}{2}\int\bigl[\cos(4x)+\cos(10x)\bigr]dx.
Integro termo a termo:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{10}\operatorname{sen}(10x)\right)+C =\frac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{20}\operatorname{sen}(10x)+C.

Passo 6

  • Quando aparecer potência par de seno ou cosseno, tente reduzir a potência com \cos^{2}u=(1+\cos2u)/2 ou \operatorname{sen}^{2}u=(1-\cos2u)/2.
  • Para produtos de senos e cossenos, memorize as fórmulas produto-para-soma — elas transformam produtos em somas de cossenos, que são fáceis de integrar.
  • Sempre integrar termo a termo e lembrar de multiplicar pelo fator 1/k ao integrar \cos(kx).

Resposta

\displaystyle \int \cos^{4}x\,dx=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)+\frac{1}{32}\operatorname{sen}(4x)+C
\displaystyle \int \operatorname{sen} x\operatorname{sen}(3x)\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{sen}(2x)-\frac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+C
\displaystyle \int \cos(3x)\cos(7x)\,dx=\frac{1}{8}\operatorname{sen}(4x)+\frac{1}{20}\operatorname{sen}(10x)+C

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