Calcule
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule três integrais indefinidas:
-
. -
. -
.
Informações fornecidas: apenas as funções trigonométricas dentro das integrais. O objetivo é achar antiderivadas (indefinidas), cada uma com sua constante de integração.
Passo 2
Ferramentas que vou usar (vou explicar cada uma):
- Identidade de redução de potência para cosseno: usa-se que
Essa identidade é derivada da fórmula da duplicação para cosseno, obtida de
, isolando
.
- Produto de senos e cossenos em somas de cossenos (fórmulas produto-para-soma):
Essas fórmulas vêm das identidades de suma/diferença para cosseno:
; isolando o termo desejado obtém-se as fórmulas acima.
- Integral de cosseno simples:
onde
é constante (porque
).
Vou aplicar essas ferramentas em cada integral.
Passo 3
Primeiro escrevo
. Uso a identidade de redução de potência para
:
Então
Desenvolvo o quadrado:
Ainda tem
, aplico a identidade novamente com
:
Substituo:
Simplifico termos constantes e coeficientes:
Agora integro termo a termo:
Calculo cada integral usando
:
Somando e incluindo a constante
:
Passo 4
Aplico a fórmula produto-para-soma com
e
:
Como
, isso dá
Integro:
Calculo:
Multiplicando:
Passo 5
Uso a fórmula produto-para-soma para cosenos com
,
:
Como
, fica
Então
Integro termo a termo:
Passo 6
- Quando aparecer potência par de seno ou cosseno, tente reduzir a potência com
ou . - Para produtos de senos e cossenos, memorize as fórmulas produto-para-soma — elas transformam produtos em somas de cossenos, que são fáceis de integrar.
- Sempre integrar termo a termo e lembrar de multiplicar pelo fator
ao integrar .