Calcule.
\int \frac{(\sqrt{t}+2){2}}{t{3}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{(\sqrt{t}+2)^{2}}{t^{3}}\;dt.
O conteúdo envolvido é integração de funções do tipo potência de t. Vamos usar expansão algébrica e a regra de integrais de monômios, isto é,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Expandimos o numerador:
(\sqrt{t}+2)^{2} = (\sqrt{t})^{2} + 2\cdot\sqrt{t}\cdot2 + 2^{2} = t + 4\,t^{1/2} + 4.

Passo 3

Reescrevemos o integrando dividindo termo a termo por t^{3}:
\frac{t + 4\,t^{1/2} + 4}{t^{3}} = t^{-2} + 4\,t^{-5/2} + 4\,t^{-3}.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência em cada termo:
\int t^{-2}\,dt = \frac{t^{-1}}{-1} = -t^{-1},
\int 4\,t^{-5/2}\,dt =4\;\frac{t^{-3/2}}{-3/2} =4\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\,t^{-3/2} =-\frac{8}{3}\,t^{-3/2},
\int 4\,t^{-3}\,dt =4\;\frac{t^{-2}}{-2} =4\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\,t^{-2} =-2\,t^{-2}.

Passo 5

Somando as primitivas e incluindo a constante de integração C, temos
\int \frac{(\sqrt{t}+2)^{2}}{t^{3}}\,dt = -t^{-1} \;-\;\frac{8}{3}\,t^{-3/2}\;-\;2\,t^{-2} + C.

Resposta

-t^{-1} \;-\;\frac{8}{3}\,t^{-3/2}\;-\;2\,t^{-2} + C.

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