Calcule.
\int \frac{x^{3}+3 x^{2}-9 x-2}{x-2} d x, \quad x \neq 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}+3x^{2}-9x-2}{x-2}\,dx,\quad x\neq2.
O conteúdo aqui é integração de função racional imprópria, que fazemos primeiro por divisão de polinômios para reduzir ao caso de um polinômio.

Passo 2

Vamos dividir x^{3}+3x^{2}-9x-2 por x-2 usando divisão sintética (Teorema do Resto):
2 │ 13 -9 -2
2102
└───────────────
1510
Os coeficientes do quociente são 1,5,1 e o resto é 0. Logo,
\frac{x^{3}+3x^{2}-9x-2}{x-2} = x^{2} + 5x + 1.

Passo 3

Agora a integral fica
\int (x^{2}+5x+1)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int 5x\,dx = \frac{5x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx = x.

Resposta

\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} + x + C.

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