Calcule:
\int_{2}^{4} \frac{x^{4}+1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{2}^{4} \frac{x^{4}+1}{x^{2}} \,dx
O conteúdo aqui é integração de funções polinomiais e de potências de x, usando a regra de potência para antiderivadas.

Passo 2

Para facilitar a integração, primeiro simplificamos o integrando fazendo a divisão:
\frac{x^{4}+1}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} + x^{-2}.

Passo 3

Agora achamos uma primitiva de cada termo. Pela regra de potência,
\int x^{2} \,dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\,x^{-1}.
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo, avaliando F em 4 e em 2:
F(4) = \frac{4^{3}}{3} - \frac{1}{4} = \frac{64}{3} - \frac{1}{4} = \frac{256 - 3}{12} = \frac{253}{12},
F(2) = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{2} = \frac{16 - 3}{6} = \frac{13}{6}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
\int_{2}^{4} \frac{x^{4}+1}{x^{2}} \,dx = F(4) - F(2) = \frac{253}{12} - \frac{13}{6} = \frac{253}{12} - \frac{26}{12} = \frac{227}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{227}{12}

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