Nos itens abaixo, faça um esboço gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule o valor da área dessas:
x{2}+y{2}=1 ; y^{2}+x=1

Passo 1

O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região fechada cuja fronteira é dada pelas curvas \;x^{2}+y^{2}=1; (círculo de raio 1 centrado na origem) e \;y^{2}+x=1; (parábola com vértice em (1,0) abrindo para a esquerda).
Conteúdo: geometria de regiões no plano e cálculo de área por integração.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, escrevemos a parábola como \;x=1-y^{2}
e substituímos na equação do círculo:
(1-y^{2})^{2}+y^{2}=1.
Expandindo e simplificando:
1-2y^{2}+y^{4}+y^{2}=1 \;\Longrightarrow\; y^{4}-y^{2}=0 \;\Longrightarrow\; y^{2}(y^{2}-1)=0
\Longrightarrow y=0,\;\pm1.
Os correspondentes valores de x são x=1 para y=0 e x=0 para y=\pm1.
Logo os pontos de interseção são (1,0), (0,1) e (0,-1).

Passo 3

Esboço gráfico (descrito):
– O círculo de raio 1 ocupa todo o contorno de (\cos t,\sin t).
– A parábola x=1-y^{2} tem vértice em (1,0) e corta o eixo y em (0,\pm1).
– As duas curvas se fecham numa região com fronteira composta pelo arco do círculo que vai de (0,1) a (0,-1) passando por (1,0) e pelo ramo da parábola entre (0,-1) e (0,1).

Passo 4

Para calcular a área, usamos coordenadas cartesianas integrando na direção y.
Em cada altura y\in[-1,1], o ponto mais à direita pertence ao círculo \;x=\sqrt{1-y^{2}}
e o ponto mais à esquerda à parábola \;x=1-y^{2}.
Então
\text{Área} =\int_{y=-1}^{1}\bigl[\sqrt{1-y^{2}}-\bigl(1-y^{2}\bigr)\bigr]\,dy.Á
Por simetria em relação a x, fazemos
\text{Área} =2\int_{0}^{1}\bigl[\sqrt{1-y^{2}}-(1-y^{2})\bigr]\,dy.Á

Passo 5

Calculamos os dois integrais:
\int_{0}^{1}\sqrt{1-y^{2}}\,dy =\frac{\pi}{4}, \qquad \int_{0}^{1}(1-y^{2})\,dy =\Bigl[y-\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =1-\frac{1}{3} =\frac{2}{3}.
Logo
\text{Área} =2\Bigl(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\Bigr) =\frac{\pi}{2}-\frac{4}{3}.Á

Resposta

\text{Área} = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3}.Á

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