Nos itens abaixo, faça um esboço gráfico da região delimitada pelas curvas e calcule o valor da área dessas:
x{2}+y{2}=1 ; y^{2}+x=1
x{2}+y{2}=1 ; y^{2}+x=1
Passo 1
O enunciado pede o esboço e o cálculo da área da região fechada cuja fronteira é dada pelas curvas
; (círculo de raio 1 centrado na origem) e
; (parábola com vértice em
abrindo para a esquerda).
Conteúdo: geometria de regiões no plano e cálculo de área por integração.
Conteúdo: geometria de regiões no plano e cálculo de área por integração.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, escrevemos a parábola como
e substituímos na equação do círculo:
e substituímos na equação do círculo:
Expandindo e simplificando:
Os correspondentes valores de
são
para
e
para
.
Logo os pontos de interseção são ,
e
.
Logo os pontos de interseção são
Passo 3
Esboço gráfico (descrito):
– O círculo de raio 1 ocupa todo o contorno de .
– A parábola tem vértice em
e corta o eixo
em
.
– As duas curvas se fecham numa região com fronteira composta pelo arco do círculo que vai de a
passando por
e pelo ramo da parábola entre
e
.
– O círculo de raio 1 ocupa todo o contorno de
– A parábola
– As duas curvas se fecham numa região com fronteira composta pelo arco do círculo que vai de
Passo 4
Para calcular a área, usamos coordenadas cartesianas integrando na direção
.
Em cada altura , o ponto mais à direita pertence ao círculo
e o ponto mais à esquerda à parábola
Então
Em cada altura
e o ponto mais à esquerda à parábola
Então
Por simetria em relação a
, fazemos
Passo 5
Calculamos os dois integrais:
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