Calcule:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi^{-}}(\ln (\sin x))^{2} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi^-} (\ln(\sin x))^{2}\,\cos x\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, reconhecendo que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx.
Precisamos também transformar os limites: quando x = \tfrac{\pi}{2}, u = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1; quando x\to\pi^-, u = \sin x\to0^+.

Passo 3

Em função de u, a integral fica
I = \int_{u=1}^{0} (\ln u)^{2}\,du = -\int_{0}^{1} (\ln u)^{2}\,du.

Passo 4

Agora calculamos
\int_{0}^{1} (\ln u)^{2}\,du.
Usando a fórmula geral
\int_{0}^{1} (\ln u)^{n}\,du = (-1)^{n}\,n!,
para n=2 obtemos
\int_{0}^{1} (\ln u)^{2}\,du = 2.

Passo 5

Substituindo de volta em I:
I = -\int_{0}^{1} (\ln u)^{2}\,du = -2.

Resposta

-2

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