Calcule
\int \frac{1}{5 x^{2}+10 x+15} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{5x^{2}+10x+15}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de função racional usando fatoração e completar o quadrado.

Passo 2

Fatoramos 5 no denominador para isolar o quadrático:
5x^{2}+10x+15 = 5\bigl(x^{2}+2x+3\bigr),
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\int \frac{1}{5x^{2}+10x+15}\,dx = \frac{1}{5}\int \frac{1}{x^{2}+2x+3}\,dx.

Passo 3

Dentro do parêntese, completamos o quadrado:
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2} + 2.
Assim a integral vira
\frac{1}{5}\int \frac{1}{(x+1)^{2}+2}\,dx.

Passo 4

Fazemos a substituição
u = x+1, \quad du = dx,
e notamos que 2 = (\sqrt{2})^{2}. Então
\frac{1}{5}\int \frac{1}{u^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\,du.

Passo 5

Usamos a fórmula padrão
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.
Aqui a=\sqrt{2}, de modo que
\frac{1}{5}\int \frac{1}{u^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\,du = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{2}}\bigr)+C.
Voltando para x: u=x+1.

Resposta

\int \frac{1}{5x^{2}+10x+15}\,dx = \frac{1}{5\sqrt{2}}\;\arctan\!\Bigl(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\Bigr)+C.

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