Calcule.
\int \frac{x^{3}-1}{x-1} d x, \quad x \neq 1

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-1}{x-1}\,dx,\quad x\neq1.
O conteúdo principal aqui é simplificar a fração via fatoração de diferença de cubos (ou divisão polinomial) antes de integrar.

Passo 2

Usamos a fatoração de diferença de cubos:
x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1).
Como x\neq1, podemos simplificar:
\frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^3 - 1}{x - 1}\,dx = \int (x^2 + x + 1)\,dx.
Agora aplicamos a regra de potências \int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^2}{2},\quad \int 1\,dx = x.
Portanto,
\int (x^2 + x + 1)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C.

Resposta

\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C.

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