Se \mathrm{a}_{\mathrm{n}} é definida por
a_{1}=11, a_{2}=21, a_{n}=3 a_{n-1}-2 a_{n-2}, n \geq 3
prove que:
a_{n}=5 \cdot 2^{n}+1 .

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_n definida por:
a_{1}=11,\qquad a_{2}=21,\qquad a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}\\ \text{ para } n\ge 3.
O que se pede: provar que, para todo n\ge1,
a_{n}=5\cdot 2^{n}+1.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática): resolver recorrências lineares de ordem 2 com coeficientes constantes. A ideia-padrão é procurar soluções da forma a_n=r^n. Por que isso funciona? Porque, se substituirmos a_n=r^n na recorrência linear homogênea, obtemos uma equação algébrica em r (a equação característica) cuja solução nos dá os “modos” que compõem a solução geral. Se as raízes da equação característica são distintas, a solução geral é combinação linear desses modos.

Passo 3

Procurar soluções da forma a_n=r^n. Substituindo na recorrência:
r^n = 3r^{n-1}-2r^{n-2}.
Dividindo por r^{n-2} (não consideramos aqui r=0 porque não produziria a família completa de soluções úteis), obtemos a equação característica:
r^2-3r+2=0.
Fatorando:
r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=2, distintas.
Como as raízes são distintas, a solução geral da recorrência tem a forma
a_n=\alpha\cdot 1^{n}+\beta\cdot 2^{n}=\alpha+\beta\cdot 2^{n},
onde \alpha e \beta são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para achar \alpha e \beta.
Para n=1:
a_{1}=\alpha+\beta\cdot 2^{1}=\alpha+2\beta=11.
Para n=2:
a_{2}=\alpha+\beta\cdot 2^{2}=\alpha+4\beta=21.
Subtraindo as duas equações:
(\alpha+4\beta)-(\alpha+2\beta)=21-11 \quad\Rightarrow\quad 2\beta=10 \quad\Rightarrow\quad \beta=5.
Então \alpha=11-2\beta=11-2\cdot5=1.
Portanto a solução particular fica
a_n=1+5\cdot 2^{n}.

Passo 5

Agora fazemos uma prova por indução (ou forte indução) para garantir que a fórmula vale para todo n\ge1.
Base da indução:
\text{Para } n=1:\quad 1+5\cdot 2^{1}=1+10=11=a_{1}.
\text{Para } n=2:\quad 1+5\cdot 2^{2}=1+20=21=a_{2}.
As bases são verdadeiras.
Passo indutivo (indução forte): suponha que para algum k\ge 3 a fórmula valha para n=k-1 e n=k-2, ou seja,
a_{k-1}=1+5\cdot 2^{\,k-1}\quad\text{e}\quad a_{k-2}=1+5\cdot 2^{\,k-2}.
Usando a recorrência,
a_{k}=3a_{k-1}-2a_{k-2}=3\bigl(1+5\cdot 2^{\,k-1}\bigr)-2\bigl(1+5\cdot 2^{\,k-2}\bigr).
Desenvolvendo:
a_{k}=3+15\cdot 2^{\,k-1}-2-10\cdot 2^{\,k-2}=1+\bigl(15\cdot 2^{\,k-1}-10\cdot 2^{\,k-2}\bigr).
Simplificando potências de dois (note que 2^{\,k-1}=2\cdot 2^{\,k-2}):
15\cdot 2^{\,k-1}-10\cdot 2^{\,k-2}=15\cdot(2\cdot 2^{\,k-2})-10\cdot 2^{\,k-2}=(30-10)\cdot 2^{\,k-2}=20\cdot 2^{\,k-2}.
E 20\cdot 2^{\,k-2}=5\cdot 2^{\,k}. Logo
a_{k}=1+5\cdot 2^{\,k}.
Assim a fórmula vale para n=k. Pelo princípio da indução forte, a fórmula vale para todo n\ge1.

Passo 6

Conclusão: a fórmula encontrada satisfaz a equação característica, as condições iniciais e a recorrência por indução, portanto está provada.

Resposta

a_{n}=5\cdot 2^{n}+1

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