Mostre, por indução matemática, que
2^{n}>n^{2} \text { para todo } n \geq 5 \text {. }

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que 2^{n}>n^{2} para todo n\geq 5.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A desigualdade a provar é \,2^{n}>n^{2}\,.
  • A afirmação deve valer para todos os inteiros n tais que n\geq 5.
  • Vamos provar que, começando em n=5, a propriedade se mantém para todos os inteiros maiores, usando o princípio da indução.

Passo 2

Vou explicar o método de indução de forma bem simples e prática (tipo receita):
  • Base da indução: verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro n da faixa (aqui n=5).
  • Passo indutivo: supor que a propriedade é verdadeira para um certo k\geq 5 (hipótese de indução) e então provar que ela vale para k+1.
    Se esses dois passos são feitos, o princípio da indução garante que a propriedade vale para todo n\geq 5.
    Cada variável que aparecer: n e k são inteiros; k será o inteiro arbitrário usado na hipótese indutiva.

Passo 3

Base da indução ( n=5). Verificar a desigualdade para n=5:
2^{5}=32\quad\text{e}\quad 5^{2}=25,
portanto
2^{5}=32>25=5^{2}.
Logo a base n=5 é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro arbitrário k com k\geq 5 valha
2^{k}>k^{2}.
Essa é a hipótese que vamos usar para mostrar que a desigualdade vale para k+1.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo: mostrar que
2^{k+1}>(k+1)^{2}.
Começo transformando o lado esquerdo usando a propriedade das potências:
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}.
Pelo que assumimos na hipótese de indução 2^{k}>k^{2}. Multiplicando essa desigualdade por 2 (multiplicação por número positivo preserva a desigualdade) obtemos
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}>2\cdot k^{2}=2k^{2}.
Portanto é suficiente provar que
2k^{2}\ge (k+1)^{2}
para que então se tenha 2^{k+1}>(k+1)^{2} (pois 2^{k+1}>2k^{2} e se 2k^{2}\ge (k+1)^{2} segue 2^{k+1}>(k+1)^{2}). Agora faço a comparação direta entre 2k^{2} e (k+1)^{2}:
2k^{2}-(k+1)^{2}=2k^{2}-(k^{2}+2k+1)=k^{2}-2k-1.
Quero ver o sinal dessa expressão para k\ge 5. Reescrevo de uma forma que facilite a estimativa:
k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2.
Para k\ge 5 tem-se (k-1)^{2}\ge 4^{2}=16. Então
k^{2}-2k-1=(k-1)^{2}-2\ge 16-2=14>0.
Portanto k^{2}-2k-1>0 para todo k\ge 5, o que implica
2k^{2}-(k+1)^{2}>0\quad\Rightarrow\quad 2k^{2}>(k+1)^{2}.
Juntando com a desigualdade obtida a partir da hipótese de indução, temos
2^{k+1}>2k^{2}>(k+1)^{2},
ou seja, a propriedade vale para k+1. Isso completa o passo indutivo.

Passo 6

Conclusão pela indução: como a desigualdade é verdadeira para n=5 (base) e mostramos que, sempre que ela vale para um k\ge 5 então vale para k+1 (passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a desigualdade
2^{n}>n^{2}
é verdadeira para todo inteiro n\ge 5. Boa! Isso mostra que a potência de 2 cresce mais rápido que n^{2} a partir de n=5.

Resposta

2^{n}>n^{2} para todo n\geq 5.

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