Mostre, por indução matemática, que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
para todo
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- A desigualdade a provar é
. - A afirmação deve valer para todos os inteiros
tais que . - Vamos provar que, começando em
, a propriedade se mantém para todos os inteiros maiores, usando o princípio da indução.
Passo 2
Vou explicar o método de indução de forma bem simples e prática (tipo receita):
- Base da indução: verificar que a propriedade é verdadeira para o primeiro
da faixa (aqui ). - Passo indutivo: supor que a propriedade é verdadeira para um certo
(hipótese de indução) e então provar que ela vale para .
Se esses dois passos são feitos, o princípio da indução garante que a propriedade vale para todo.
Cada variável que aparecer:e são inteiros; será o inteiro arbitrário usado na hipótese indutiva.
Passo 3
Base da indução (
). Verificar a desigualdade para
:
portanto
Logo a base
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução. Suponha que para algum inteiro arbitrário
com
valha
Essa é a hipótese que vamos usar para mostrar que a desigualdade vale para
.
Passo 5
Objetivo do passo indutivo: mostrar que
Começo transformando o lado esquerdo usando a propriedade das potências:
Pelo que assumimos na hipótese de indução
. Multiplicando essa desigualdade por
(multiplicação por número positivo preserva a desigualdade) obtemos
Portanto é suficiente provar que
para que então se tenha
(pois
e se
segue
). Agora faço a comparação direta entre
e
:
Quero ver o sinal dessa expressão para
. Reescrevo de uma forma que facilite a estimativa:
Para
tem-se
. Então
Portanto
para todo
, o que implica
Juntando com a desigualdade obtida a partir da hipótese de indução, temos
ou seja, a propriedade vale para
. Isso completa o passo indutivo.
Passo 6
Conclusão pela indução: como a desigualdade é verdadeira para
(base) e mostramos que, sempre que ela vale para um
então vale para
(passo indutivo), pelo princípio da indução matemática a desigualdade
é verdadeira para todo inteiro
. Boa! Isso mostra que a potência de
cresce mais rápido que
a partir de
.