Calcule.
\int \frac{1}{3 x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{1}{3x-2}\,\mathrm{d}x
O conteúdo é integração de função racional simples e vamos usar a técnica de substituição para facilitar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x - 2,
logo
\mathrm{d}u = 3\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{1}{3x-2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \ln\bigl\lvert u\bigr\rvert + C.
Portanto,
\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{3}\ln\bigl\lvert u\bigr\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u = 3x-2, obtemos
\frac{1}{3}\ln\bigl\lvert 3x-2\bigr\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{3}\ln\bigl\lvert 3x-2\bigr\rvert + C

Exercícios relacionados