Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
f^{\prime \prime}(x)=6 x-4;
f^{\prime}(2)=5 ; f(2)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
f''(x)=6x-4
com as condições iniciais
f'(2)=5,\quad f(2)=4.
O que precisamos fazer é integrar duas vezes: primeiro para achar f', depois para achar f, e em cada passo usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos \!f''(x)=6x-4 para obter f'(x). Pela regra de antiderivação,
f'(x)=\int(6x-4)\,dx=3x^2-4x+C_1.
Agora usamos f'(2)=5:
3\cdot2^2-4\cdot2+C_1=5 \quad\Longrightarrow\quad12-8+C_1=5 \quad\Longrightarrow\quad C_1=1.
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f'(x)=3x^2-4x+1.

Passo 3

Integramos f'(x)=3x^2-4x+1 para achar f(x):
f(x)=\int(3x^2-4x+1)\,dx=x^3-2x^2+x+C_2.
Aplicamos a condição f(2)=4:
2^3-2\cdot2^2+2+C_2=4 \quad\Longrightarrow\quad8-8+2+C_2=4 \quad\Longrightarrow\quad C_2=2.
Portanto
f(x)=x^3-2x^2+x+2.

Resposta

f(x)=x^3-2x^2+x+2

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