Calcule.
\int \frac{2 x^{2}-x+3}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2x^{2}-x+3}{\sqrt{x}}\,dx.
Aqui vamos usar a propriedade de potências para reescrever o integrando e depois aplicar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Reescrevendo o integrando como soma de potências de x:
\frac{2x^{2}-x+3}{\sqrt{x}} =2x^{2-\tfrac12}-x^{1-\tfrac12}+3x^{0-\tfrac12} =2x^{3/2}-x^{1/2}+3x^{-1/2}.
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\int \frac{2x^{2}-x+3}{\sqrt{x}}\,dx =\int\bigl(2x^{3/2}-x^{1/2}+3x^{-1/2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) em cada termo:
\int 2x^{3/2}\,dx =2\;\frac{x^{5/2}}{5/2} =\frac{4}{5}\,x^{5/2},
\int x^{1/2}\,dx =\frac{x^{3/2}}{3/2} =\frac{2}{3}\,x^{3/2},
\int 3x^{-1/2}\,dx =3\;\frac{x^{1/2}}{1/2} =6\,x^{1/2}.

Resposta

\frac{4}{5}\,x^{5/2}-\frac{2}{3}\,x^{3/2}+6\,x^{1/2}+C.

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