Calcule.
\int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\left(1+4x^{2}\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é uma função racional com numerador x e denominador \left(1+4x^{2}\right)^{2}.
  • Pede-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{(1+4x^{2})^{2}}.
  • Deve-se incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação prática para escolher o caminho (sem pular etapas): a expressão no denominador aparece elevada ao quadrado, e a derivada da quantidade dentro do parêntese 1+4x^{2} é uma função proporcional a x. Quando na integral existe uma função g(x) no denominador e seu composto aparece no numerador (ou uma constante vezes sua derivada), é natural tentar uma mudança de variável que transforme a integral em algo simples. Aqui a intenção é aproveitar que
\frac{d}{dx}\bigl(1+4x^{2}\bigr)=8x,
portanto x\,dx é (até uma constante) o diferencial de 1+4x^{2}. Vamos formalizar isso com a substituição.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1+4x^{2}.
Calculamos o diferencial de u:
du = 8x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{8}\,du.
Agora substituímos na integral original:
\int \frac{x}{\left(1+4x^{2}\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\left(\frac{1}{8}\,du\right) = \frac{1}{8}\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Integramos u^{-2}. Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1}+C = -\frac{1}{u}+C.
Voltando ao fator \dfrac{1}{8} que estava fora da integral:
\frac{1}{8}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{8}\left(-\frac{1}{u}\right)+C = -\frac{1}{8u}+C.
Agora desfazemos a substituição u=1+4x^{2} para escrever a primitiva em termos de x:
-\frac{1}{8u}+C = -\frac{1}{8(1+4x^{2})}+C.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (importante para a prova): derivando a primitiva encontrada deve-se obter o integrando. Seja
F(x) = -\frac{1}{8(1+4x^{2})}.
Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{8}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-1} = -\frac{1}{8}\cdot(-1)\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{-2}\cdot(8x) = \frac{x}{\bigl(1+4x^{2}\bigr)^{2}}.
Confere exatamente com o integrando.

Passo 6

Regra geral útil para a prova (dica prática): sempre que encontrar uma integral da forma
\int \frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}\,dx,
ela iguala a
-\frac{1}{f(x)}+C,
porque \dfrac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{f(x)}\bigr)=-\dfrac{f'(x)}{[f(x)]^{2}}. No problema atual, f(x)=1+4x^{2} e f'(x)=8x, por isso apareceu o fator 1/8 na primitiva. Exemplo extra rápido: \int \dfrac{x}{(1+x^{2})^{2}}dx = -\dfrac{1}{2(1+x^{2})}+C pelo mesmo raciocínio.

Resposta

-\frac{1}{8\left(1+4x^{2}\right)}+C

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