Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é uma função racional com numerador
e denominador . - Pede-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um
tal que . - Deve-se incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação prática para escolher o caminho (sem pular etapas): a expressão no denominador aparece elevada ao quadrado, e a derivada da quantidade dentro do parêntese
é uma função proporcional a
. Quando na integral existe uma função
no denominador e seu composto aparece no numerador (ou uma constante vezes sua derivada), é natural tentar uma mudança de variável que transforme a integral em algo simples. Aqui a intenção é aproveitar que
portanto
é (até uma constante) o diferencial de
. Vamos formalizar isso com a substituição.
Passo 3
Fazemos a substituição
Calculamos o diferencial de
:
Agora substituímos na integral original:
Passo 4
Integramos
. Usamos a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Voltando ao fator
que estava fora da integral:
Agora desfazemos a substituição
para escrever a primitiva em termos de
:
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (importante para a prova): derivando a primitiva encontrada deve-se obter o integrando. Seja
Usando a regra da cadeia,
Confere exatamente com o integrando.
Passo 6
Regra geral útil para a prova (dica prática): sempre que encontrar uma integral da forma
ela iguala a
porque
. No problema atual,
e
, por isso apareceu o fator
na primitiva. Exemplo extra rápido:
pelo mesmo raciocínio.