Quantos números de 5 dígitos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9 , sem repetição, de modo que o número seja ímpar?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números de
dígitos podem ser formados com os dígitos de
a
, sem repetição, de modo que o número seja ímpar?”
Informações dadas e restrições importantes:
Informações dadas e restrições importantes:
- Os dígitos disponíveis são
(ou seja, dígitos). - O número deve ter exatamente
dígitos (portanto o primeiro dígito não pode ser ). - Não se permite repetição de dígitos.
- O número deve ser ímpar (logo o dígito das unidades — último dígito — deve ser um dígito ímpar).
Passo 2
Ideia geral de contagem (Princípio multiplicativo): se uma tarefa pode ser feita em etapas sequenciais independentes em que a primeira etapa tem
opções, para cada escolha da primeira a segunda tem
opções, para cada escolha das duas primeiras a terceira tem
opções e assim por diante, então o total de formas possíveis é
. Aqui vamos contar escolhas para cada posição do número (unidades, primeiro dígito, depois os três dígitos do meio) e multiplicar.
Passo 3
Contagem do dígito das unidades (para garantir que o número seja ímpar): os dígitos ímpares entre
e
são
. Portanto há
opções para o dígito das unidades.
Passo 4
Depois de escolher o dígito das unidades, restam
dígitos disponíveis (dos
iniciais foi retirado o escolhido para as unidades). Agora contamos as opções para o primeiro dígito (o mais significativo). O primeiro dígito não pode ser
e também não pode ser o dígito já usado nas unidades. Como o dígito das unidades é ímpar, o
ainda está entre os
restantes, portanto o número de escolhas válidas para o primeiro dígito é
isto é, dos
restantes exclui-se o
, sobrando
opções.
Passo 5
Agora faltam preencher as três posições do meio (segunda, terceira e quarta posições do número). Depois de escolher o dígito das unidades e o primeiro dígito, já foram usados
dígitos, então restam
dígitos disponíveis para serem colocados nas três posições do meio. Para essas três posições, sem repetição e sem outras restrições, as contagens vão ser sequenciais:
- opção para a segunda posição:
escolhas; - opção para a terceira posição:
escolhas (um dígito a menos); - opção para a quarta posição:
escolhas (outro dígito a menos).
Passo 6
Aplicando o princípio multiplicativo: multiplicamos as opções de cada etapa (unidades, primeiro dígito, segunda, terceira e quarta posições):
Vamos calcular passo a passo: