Quantos números de 5 dígitos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9 , sem repetição, de modo que o número seja ímpar?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números de 5 dígitos podem ser formados com os dígitos de 0 a 9, sem repetição, de modo que o número seja ímpar?”
Informações dadas e restrições importantes:
  • Os dígitos disponíveis são 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (ou seja, 10 dígitos).
  • O número deve ter exatamente 5 dígitos (portanto o primeiro dígito não pode ser 0).
  • Não se permite repetição de dígitos.
  • O número deve ser ímpar (logo o dígito das unidades — último dígito — deve ser um dígito ímpar).

Passo 2

Ideia geral de contagem (Princípio multiplicativo): se uma tarefa pode ser feita em etapas sequenciais independentes em que a primeira etapa tem a opções, para cada escolha da primeira a segunda tem b opções, para cada escolha das duas primeiras a terceira tem c opções e assim por diante, então o total de formas possíveis é a\cdot b\cdot c\cdots. Aqui vamos contar escolhas para cada posição do número (unidades, primeiro dígito, depois os três dígitos do meio) e multiplicar.

Passo 3

Contagem do dígito das unidades (para garantir que o número seja ímpar): os dígitos ímpares entre 0 e 9 são 1,3,5,7,9. Portanto há
5
opções para o dígito das unidades.

Passo 4

Depois de escolher o dígito das unidades, restam 9 dígitos disponíveis (dos 10 iniciais foi retirado o escolhido para as unidades). Agora contamos as opções para o primeiro dígito (o mais significativo). O primeiro dígito não pode ser 0 e também não pode ser o dígito já usado nas unidades. Como o dígito das unidades é ímpar, o 0 ainda está entre os 9 restantes, portanto o número de escolhas válidas para o primeiro dígito é
9 - 1 = 8,
isto é, dos 9 restantes exclui-se o 0, sobrando 8 opções.

Passo 5

Agora faltam preencher as três posições do meio (segunda, terceira e quarta posições do número). Depois de escolher o dígito das unidades e o primeiro dígito, já foram usados 2 dígitos, então restam
10-2=8
dígitos disponíveis para serem colocados nas três posições do meio. Para essas três posições, sem repetição e sem outras restrições, as contagens vão ser sequenciais:
  • opção para a segunda posição: 8 escolhas;
  • opção para a terceira posição: 7 escolhas (um dígito a menos);
  • opção para a quarta posição: 6 escolhas (outro dígito a menos).

Passo 6

Aplicando o princípio multiplicativo: multiplicamos as opções de cada etapa (unidades, primeiro dígito, segunda, terceira e quarta posições):
\text{total} = 5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6.
Vamos calcular passo a passo:
5\cdot 8 = 40,
40\cdot 8 = 320,
320\cdot 7 = 2240,
2240\cdot 6 = 13440.

Resposta

13440

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