Quantas permutações de \{1,2,3,4,5\} possuem pelo menos um ponto fixo?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Contar quantas permutações do conjunto \{1,2,3,4,5\} têm pelo menos um ponto fixo.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Trabalhamos com todas as permutações de cinco elementos.
  • Um “ponto fixo” numa permutação é um elemento i tal que a permutação envia i em si mesma.

Passo 2

Estratégia escolhida (ideia principal):
  • É mais fácil contar o complementar: primeiro conto quantas permutações NÃO têm nenhum ponto fixo (essas são chamadas de derangements) e depois subtraio do total.
  • Em palavras: número pedido = (total de permutações) − (número de permutações sem ponto fixo).
Explicação do total de permutações:
  • O número total de permutações de 5 elementos é 5!.
  • Lembrete sobre fatorial: para n natural, n! = n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1.
  • Portanto \,5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.

Passo 3

Como contar permutações sem ponto fixo (introdução da técnica):
  • Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar quantas permutações não fixam nenhum elemento.
  • Ideia do princípio (em palavras simples): somar as contagens que fixam cada elemento, subtrair as que fixam pares (porque foram contadas duas vezes), somar as que fixam triplas, e assim por diante, alternando sinais.
Formulação para este problema:
  • Se fixarmos exatamente um subconjunto de k elementos, o número de permutações que fixam esses k elementos é (5-k)! (porque os demais 5-k elementos podem permutar livremente).
  • \binom{5}{k} maneiras de escolher quais k elementos ficam fixos.
  • Pela inclusão-exclusão, o número de permutações sem ponto fixo vale
!5=\sum_{k=0}^{5}(-1)^k\binom{5}{k}(5-k)!.

Passo 4

Cálculo termo a termo da soma (cada passo explicado):
  • Para k=0: \binom{5}{0}(5-0)! = 1\cdot5! = 120. (termo positivo)
  • Para k=1: -\binom{5}{1}(5-1)! = -5\cdot4! = -5\cdot24 = -120.
  • Para k=2: \binom{5}{2}(5-2)! = 10\cdot3! = 10\cdot6 = 60.
  • Para k=3: -\binom{5}{3}(5-3)! = -10\cdot2! = -10\cdot2 = -20.
  • Para k=4: \binom{5}{4}(5-4)! = 5\cdot1! = 5\cdot1 = 5.
  • Para k=5: -\binom{5}{5}(5-5)! = -1\cdot0! = -1\cdot1 = -1.
Soma dos termos:
!5 = 120 - 120 + 60 - 20 + 5 - 1 = 44.
  • Interpretação: existem 44 permutações de \{1,2,3,4,5\} que não têm nenhum ponto fixo.

Passo 5

Alternativa (fórmula rápida de derangement) e verificação mental:
  • Existe uma fórmula compacta para derangements: para n,
!n = n!\sum_{j=0}^{n}\frac{(-1)^j}{j!}.
  • Para n=5 isso dá 5!\left(1 - 1 + \tfrac{1}{2!} - \tfrac{1}{3!} + \tfrac{1}{4!} - \tfrac{1}{5!}\right) = 120\cdot\frac{11}{30} = 44, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Agora obtenho o número de permutações que têm pelo menos um ponto fixo:
  • Usando a estratégia do Passo 2: número desejado = 5! - !5 = 120 - 44.

Resposta

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