Calcule
\int \frac{2 x-3}{\left(x^{2}+2 x-3\right)^{\frac{3}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x-3}{\bigl(x^{2}+2x-3\bigr)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo aqui é decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e parte restante, usando uma primitiva do tipo u^{-3/2} e uma integral padrão de \bigl(t^{2}-a^{2}\bigr)^{-3/2}.

Passo 2

Chame u = x^{2}+2x-3. Então
du = (2x+2)\,dx.
Reescrevemos o numerador como
2x-3 = \bigl(2x+2\bigr) - 5,
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\frac{2x-3}{u^{3/2}} = \frac{2x+2}{u^{3/2}} \;-\; \frac{5}{u^{3/2}}.

Passo 3

Separe a integral em duas partes:
\int \frac{2x-3}{u^{3/2}}\,dx = \int \frac{2x+2}{u^{3/2}}\,dx \;-\;5 \int \frac{1}{u^{3/2}}\,dx.
Na primeira, como du = (2x+2)\,dx, temos
\int \frac{2x+2}{u^{3/2}}\,dx = \int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,u^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{u}}.

Passo 4

Falta calcular
\displaystyle \int \frac{1}{u^{3/2}}\,dx
em que u=x^{2}+2x-3. Observe que
x^{2}+2x-3 = (x+1)^{2}-2^{2}.
Faça t = x+1, então dt=dx e a integral vira
\int \frac{dt}{\bigl(t^{2}-2^{2}\bigr)^{3/2}}.
Sabemos que
\int \frac{dt}{\bigl(t^{2}-a^{2}\bigr)^{3/2}} = -\frac{t}{a^{2}\,\sqrt{t^{2}-a^{2}}}+C.
Aqui a=2, de modo que
\int \frac{dt}{(t^{2}-4)^{3/2}} = -\frac{t}{4\sqrt{t^{2}-4}} = -\frac{x+1}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}}.

Passo 5

Juntando as duas partes:
\int \frac{2x-3}{(x^{2}+2x-3)^{3/2}}\,dx = -\frac{2}{\sqrt{x^{2}+2x-3}} \;-\;5\Bigl(-\frac{x+1}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}}\Bigr) + C.
Isto é
-\frac{2}{\sqrt{x^{2}+2x-3}} +\frac{5(x+1)}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}} + C = \frac{-8 + 5(x+1)}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}} + C = \frac{5x-3}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}} + C.

Resposta

\boxed{ \frac{5x-3}{4\sqrt{x^{2}+2x-3}} + C }

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