Calcule:
\int \frac{x}{\sqrt{1+2 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais envolvendo radical, e vamos usar o método de substituição para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 2x^{2}.
Dessa forma, ao derivar,
du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u. Note que \sqrt{1+2x^{2}} = \sqrt{u}, então
\int \frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\bigl(x\,dx\bigr) = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{4}\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{4}\cdot\frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = \frac{1}{4}\cdot 2\,\sqrt{u} = \frac{1}{2}\,\sqrt{u}+C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=1+2x^{2}. Logo a antiderivada é
\frac{1}{2}\,\sqrt{1+2x^{2}}+C.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{1+2x^{2}}}\,dx = \frac{\sqrt{1+2x^{2}}}{2}+C.

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