Encontre \alpha e \beta de modo que \sin 4 x \cos x=\frac{1}{2}(\sin (\alpha x)+\sin (\beta x)) dica:lembre que \sin (a) \cos (b)=\frac{1}{2}(\sin (a+b)+\sin (a-b))

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \alpha e \beta tais que
\sin 4x \cos x = \frac{1}{2}\big(\sin(\alpha x)+\sin(\beta x)\big).
Informações dadas: a dica mostra a identidade
\sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big).
Não vamos resolver nada aqui ainda; só deixei clarinho o que precisa ser encontrado e qual identidade temos disponível.

Passo 2

Vamos entender a identidade indicada — é importante saber de onde ela vem para usar com segurança na prova. Começa-se com as fórmulas de seno da soma e da diferença:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
e
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.
Se somarmos essas duas igualdades membro a membro, os termos com \cos a\sin b cancelam e obtemos
\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b.
Dividindo por 2 chega-se à identidade usada na dica:
\sin a\cos b=\frac{1}{2}\big(\sin(a+b)+\sin(a-b)\big).
Aqui a e b são ângulos quaisquer; na nossa aplicação serão expressões em x. Isso é útil porque transforma um produto de seno e cosseno em soma de senos — formato idêntico ao lado direito do enunciado.

Passo 3

Agora aplicamos a identidade ao nosso produto. Identificamos os parâmetros da identidade com os termos do produto:
a = 4x,\qquad b = x.
Substituindo em \sin a\cos b=\frac{1}{2}(\sin(a+b)+\sin(a-b)) temos
\sin(4x)\cos(x)=\frac{1}{2}\big(\sin(4x+x)+\sin(4x-x)\big).

Passo 4

Calculemos as somas e diferenças dentro dos senos:
4x+x=5x
e
4x-x=3x.
Portanto a identidade aplicada fica
\sin(4x)\cos(x)=\frac{1}{2}\big(\sin(5x)+\sin(3x)\big).
Comparando com a forma pedida \frac{1}{2}(\sin(\alpha x)+\sin(\beta x)), vemos que os coeficientes de x dentro dos senos são \alpha=5 e \beta=3. A ordem entre \alpha e \beta não é importante (pode ser \alpha=3,\\ \beta=5 também), mas uma escolha padrão é \alpha=5,\\ \beta=3.

Resposta

\alpha=5
\beta=3

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