Calcule:
\int \sin 4 x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin(4x)\,\cos(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades de produto para soma.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B) = \tfrac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
No nosso caso A=4x e B=x, logo
\sin(4x)\cos(x) = \tfrac12\bigl[\sin(4x+x)+\sin(4x-x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(5x)+\sin(3x)\bigr].

Passo 3

Reescrevendo a integral com essa identidade:
\int \sin(4x)\cos(x)\,dx = \tfrac12\int \bigl[\sin(5x)+\sin(3x)\bigr]dx = \tfrac12\int \sin(5x)\,dx + \tfrac12\int \sin(3x)\,dx.
Agora integramos cada termo:
\int \sin(5x)\,dx = -\tfrac{1}{5}\cos(5x), \quad \int \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\cos(3x).

Passo 4

Substituindo de volta e simplificando:
\int \sin(4x)\cos(x)\,dx = \tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{5}\cos(5x)\Bigr) + \tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\Bigr) + C = -\tfrac{1}{10}\cos(5x) - \tfrac{1}{6}\cos(3x) + C.

Resposta

-\tfrac{1}{10}\cos(5x)\;-\;\tfrac{1}{6}\cos(3x)\;+\;C.

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