Calcule.
\int \frac{8 x-5}{\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{8x - 5}{\sqrt[3]{x}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções potenciais, usando a regra da potência.

Passo 2

Escrevemos \sqrt[3]{x}=x^{1/3} e distribuímos o expoente no numerador:
\frac{8x - 5}{\sqrt[3]{x}} = (8x - 5)\,x^{-1/3} = 8x^{2/3} - 5x^{-1/3}.

Passo 3

Aplicamos a regra da potência
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1)
a cada termo:
\int 8x^{2/3}\,dx =8\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3} =\frac{24}{5}x^{5/3},
\int -5x^{-1/3}\,dx =-5\cdot\frac{x^{2/3}}{2/3} =-\frac{15}{2}x^{2/3}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \frac{8x - 5}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \frac{24}{5}x^{5/3} - \frac{15}{2}x^{2/3} + C.

Resposta

\frac{24}{5}x^{5/3}-\frac{15}{2}x^{2/3}+C

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