Calcule
onde o contorno de integração é o círculo
orientado positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de contorno
onde o contorno é o círculo
orientado positivamente (sentido anti-horário). Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função integrada é
e o contorno é o círculo centrado em
com raio
. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral complexa?
Passo 2
Vamos decidir um método: uma maneira direta e muito prática é usar a Fórmula Integral de Cauchy (ou, equivalentemente, o teorema dos resíduos). A escolha vem do fato de que a integranda tem a forma
com
e
, e
é inteira (analytic em todo o plano), portanto as hipóteses da Fórmula de Cauchy se aplicam facilmente. Vou aplicar a Fórmula de Cauchy porque é rápida e exige poucas contas; depois mostro também uma derivação alternativa via série de Laurent/resíduo para reforçar o entendimento.
Passo 3
Ensinando a Fórmula Integral de Cauchy (passo-a-passo, sem pressa):
onde:
-
é uma curva fechada simples e orientada positivamente; -
é um ponto interior a ; -
é função holomorfa (analítica) em todo o interior de e sobre .
Significado das partes: a integral de contorno da funçãoao longo de depende apenas do valor de em ; o fator é universal e aparece sempre que temos o pólo simples do tipo .
Passo 4
Verificação das hipóteses no nosso caso:
- Tomamos
. Sabemos que é inteira (analítica para todo ), logo é analítica no interior e na borda do círculo . - O ponto
está estritamente dentro do contorno .
Portanto podemos aplicar a Fórmula de Cauchy com. Calculamos . Assim, pela fórmula,
Passo 5
(Mini-aula alternativa via série de Laurent / resíduo, para fixar a ideia)
Explicação: outra forma é desenvolver em série de potências (série de Taylor) em torno de
:
Explicação: outra forma é desenvolver
Dividindo por
obtemos a série de Laurent válida em torno de
:
O coeficiente do termo
(ou seja, a parte
) é o resíduo no ponto
. Na soma acima, o termo com
é
, portanto o resíduo em
é
. Pelo teorema dos resíduos, a integral vale
vezes o resíduo:
Observação rápida sobre por que somente o termo
importa: integrando termo a termo, para
temos
e para
temos
(essa última igualdade pode ser verificada parametrizando
,
).
Passo 6
Conclusão e cálculo final: a integral é