Calcule \int \frac{e^{z}}{z} dz onde o contorno de integração é o círculo |z|=2 orientado positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\oint_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z}\,dz
onde o contorno é o círculo |z|=2 orientado positivamente (sentido anti-horário). Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função integrada é \frac{e^{z}}{z} e o contorno é o círculo centrado em 0 com raio 2. A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral complexa?

Passo 2

Vamos decidir um método: uma maneira direta e muito prática é usar a Fórmula Integral de Cauchy (ou, equivalentemente, o teorema dos resíduos). A escolha vem do fato de que a integranda tem a forma \frac{f(z)}{z-a} com a=0 e f(z)=e^{z}, e f é inteira (analytic em todo o plano), portanto as hipóteses da Fórmula de Cauchy se aplicam facilmente. Vou aplicar a Fórmula de Cauchy porque é rápida e exige poucas contas; depois mostro também uma derivação alternativa via série de Laurent/resíduo para reforçar o entendimento.

Passo 3

Ensinando a Fórmula Integral de Cauchy (passo-a-passo, sem pressa):
\oint_{C} \frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\, f(a),
onde:
  • C é uma curva fechada simples e orientada positivamente;
  • a é um ponto interior a C;
  • f é função holomorfa (analítica) em todo o interior de C e sobre C.
    Significado das partes: a integral de contorno da função \frac{f(z)}{z-a} ao longo de C depende apenas do valor de f em a; o fator 2\pi i é universal e aparece sempre que temos o pólo simples do tipo 1/(z-a).

Passo 4

Verificação das hipóteses no nosso caso:
  • Tomamos f(z)=e^{z}. Sabemos que e^{z} é inteira (analítica para todo z), logo é analítica no interior e na borda do círculo |z|=2.
  • O ponto a=0 está estritamente dentro do contorno |z|=2.
    Portanto podemos aplicar a Fórmula de Cauchy com a=0. Calculamos f(0)=e^{0}=1. Assim, pela fórmula,
\oint_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z}\,dz = 2\pi i \, f(0) = 2\pi i \cdot 1.

Passo 5

(Mini-aula alternativa via série de Laurent / resíduo, para fixar a ideia)
Explicação: outra forma é desenvolver e^{z} em série de potências (série de Taylor) em torno de 0:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Dividindo por z obtemos a série de Laurent válida em torno de 0:
\frac{e^{z}}{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n-1}}{n!}.
O coeficiente do termo z^{-1} (ou seja, a parte \frac{1}{z}) é o resíduo no ponto 0. Na soma acima, o termo com n=0 é \frac{z^{-1}}{0!}=\;z^{-1}, portanto o resíduo em 0 é 1. Pelo teorema dos resíduos, a integral vale 2\pi i vezes o resíduo:
\oint_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z}\,dz = 2\pi i \cdot 1.
Observação rápida sobre por que somente o termo z^{-1} importa: integrando termo a termo, para m\neq -1 temos \oint z^{m}\,dz=0 e para m=-1 temos \oint z^{-1}\,dz=2\pi i (essa última igualdade pode ser verificada parametrizando z=Re^{it}, t\in[0,2\pi]).

Passo 6

Conclusão e cálculo final: a integral é
2\pi i.

Resposta

\;2\pi i\;

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