1. Esboce o gráfico da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por
f(x)=4 x^{3}-3 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=4x^{3}-3x^{4}.
Informações dadas:
\text{função } f(x)=4x^{3}-3x^{4},\quad \text{domínio } \mathbb{R}.çãí
O que se pede: desenhar (esboçar) o gráfico — isto exige que eu encontre pontos importantes (zeros, interceptos), derivadas para monotonicidade e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e comportamento para x\to\pm\infty. Vou calcular tudo isso passo a passo.

Passo 2

Zeros e interceptos (pontos onde a curva corta os eixos). Para achar os zeros eu factoro f(x).
f(x)=4x^{3}-3x^{4}=x^{3}(4-3x).
Da fatoração, os zeros são:
x=0\quad(\text{multiplicidade }3),\qquad x=\tfrac{4}{3}\quad(\text{multiplicidade }1).
O intercepto em y é f(0)=0. Portanto os interceptos são os pontos (0,0) e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr).
Explicação didática rápida sobre multiplicidade: se a raiz tem multiplicidade ímpar a curva cruza o eixo x; se for par, ela toca e volta. Aqui x=0 tem multiplicidade 3 (ímpar), então a curva atravessa o eixo em 0, porém de forma “achatada” pois a derivada em 0 será zero (a presença do fator x^{3} cria uma passagem com tangente horizontal).

Passo 3

Derivada primeira e monotonicidade. A derivada nos dá a inclinação local (se cresce ou decresce). Calculo f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-3x^{4}\bigr)=12x^{2}-12x^{3}=12x^{2}(1-x).
Os pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0, ou seja:
12x^{2}(1-x)=0\implies x=0\quad(\text{multiplicidade }2),\qquad x=1.
Para entender onde a função cresce ou decresce, faço um estudo de sinais de f'(x)=12x^{2}(1-x).
  • 12x^{2}\ge 0 para todo x e é zero só em x=0.
  • O sinal de f'(x) depende essencialmente de 1-x.
Portanto:
  • Para x<0: 1-x>0 e x^{2}>0 então f'(x)>0 (a função cresce).
  • Para 0<x<1: 1-x>0 e x^{2}>0 então f'(x)>0 (a função cresce).
  • Para x>1: 1-x<0 então f'(x)<0 (a função decresce).
Observação importante: em x=0 a derivada é zero, mas o sinal de f' não muda (positivo à esquerda e à direita), portanto x=0 não é máximo nem mínimo — é um ponto crítico onde a tangente é horizontal, mas a função continua a crescer (é uma inflexão horizontal, que vamos confirmar com a segunda derivada).
Conclusão sobre monotonicidade:
\text{cresce em }(-\infty,1),\qquad \text{decresce em }(1,\infty).
Logo x=1 é candidato a máximo local.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade. A segunda derivada diz se a curva está “virada para cima” (concavidade para cima) ou “virada para baixo” (concavidade para baixo). Calculo f''(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(12x^{2}-12x^{3}\bigr)=24x-36x^{2}=12x(2-3x).
Pontos de inflexão potencialmente ocorrem quando f''(x)=0:
12x(2-3x)=0\implies x=0,\qquad x=\tfrac{2}{3}.
Estudo de sinais de f'':
  • Para x<0: x<0 e 2-3x>0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo.
  • Para 0<x<\tfrac{2}{3}: x>0 e 2-3x>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima.
  • Para x>\tfrac{2}{3}: 2-3x<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo.
Portanto há mudança de concavidade em x=0 e em x=\tfrac{2}{3}; são pontos de inflexão. Note que x=0 é simultaneamente um ponto crítico com derivada zero e um ponto de inflexão — isto é chamado de ponto de inflexão horizontal.
Calculo as ordenadas desses pontos:
f(0)=0.
f\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=4\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}-3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}.
Faço as contas passo a passo:
\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3}=\tfrac{8}{27},\qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}=\tfrac{16}{81},
f\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=4\cdot \tfrac{8}{27}-3\cdot \tfrac{16}{81}=\tfrac{32}{27}-\tfrac{48}{81}.
Transformo \tfrac{48}{81} para denominador 27: \tfrac{48}{81}=\tfrac{16}{27}. Então
f\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{32}{27}-\tfrac{16}{27}=\tfrac{16}{27}\approx 0{,}5926.
Resumo de concavidade e inflexões:
\text{concava para baixo em }(-\infty,0),\quad \text{para cima em }(0,\tfrac{2}{3}),\quad \text{para baixo em }(\tfrac{2}{3},\infty).
Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{27}\bigr).

Passo 5

Classificação do extremo em x=1. Já vimos que a função cresce para x<1 e decresce para x>1, logo x=1 é um máximo local. Confirmo com a segunda derivada:
f''(1)=12\cdot 1\cdot(2-3) =12\cdot(-1)=-12<0,
o que confirma máximo local. A ordenada:
f(1)=4\cdot 1^{3}-3\cdot1^{4}=4-3=1.
Então há um máximo local em (1,1). Como o termo de maior grau é -3x^{4}, a função tende a -\infty nas duas pontas, então esse máximo em x=1 é o máximo global da função (porque para |x| grande f(x) fica arbitrariamente negativo).

Passo 6

Comportamento para x\to\pm\infty (fim das caudas). Como o termo dominante é -3x^{4} (grau par, coeficiente negativo), temos
\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty.
Isto significa que ambas as extremidades do gráfico descem para -\infty.

Passo 7

Combinação de todas as informações para esboçar o gráfico e instruções práticas de desenho:
  • Zeros e interceptos: (0,0) (raiz de multiplicidade 3) e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr).
  • Pontos notáveis: ponto de inflexão horizontal em (0,0); ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{27}\bigr); máximo local (e global) em (1,1).
  • Monotonicidade: cresce em (-\infty,1) (com uma parada horizontal em 0 sem mudar o sentido) e decresce em (1,\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\tfrac{2}{3}), e côncava para baixo em (\tfrac{2}{3},\infty).
  • Extremidades: vai para -\infty em ambas as direções.
Como desenhar, passo a passo:
  1. Marque os pontos (0,0), \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{27}\bigr) e (1,1) e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr).
  2. A partir da esquerda, a curva vem de -\infty, sobe (côncava para baixo), chega a (0,0) com tangente horizontal e atravessa o eixo (de negativo para positivo), passa a ficar côncava para cima até \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{27}\bigr), depois muda para côncava para baixo, continua subindo até o máximo em (1,1), e depois desce, cruza o eixo em \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr) e vai para -\infty.
  3. As transições de concavidade e o máximo devem ficar coerentes com as ordens de grandeza dadas (por exemplo, \tfrac{2}{3}\approx 0{,}666, \tfrac{4}{3}\approx 1{,}333).
Isso é suficiente para um esboço fiel ao comportamento da função. Força aí — com esses pontos e sinais você consegue desenhar a curva certinha numa folha.

Resposta

Zeros: (0,0) e \bigl(\tfrac{4}{3},0\bigr).
Pontos de inflexão: (0,0) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{27}\bigr).
Máximo local (e global): (1,1).
Monotonicidade: cresce em (-\infty,1), decresce em (1,\infty).
Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,0), côncava para cima em (0,\tfrac{2}{3}), côncava para baixo em (\tfrac{2}{3},\infty).
Comportamento nas extremidades: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty.

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