- Esboce o gráfico da função
, dada por
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce o gráfico da função
definida por
Informações dadas:
O que se pede: desenhar (esboçar) o gráfico — isto exige que eu encontre pontos importantes (zeros, interceptos), derivadas para monotonicidade e extremos, segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão, e comportamento para
. Vou calcular tudo isso passo a passo.
Passo 2
Zeros e interceptos (pontos onde a curva corta os eixos). Para achar os zeros eu factoro
.
Da fatoração, os zeros são:
O intercepto em
é
. Portanto os interceptos são os pontos
e
.
Explicação didática rápida sobre multiplicidade: se a raiz tem multiplicidade ímpar a curva cruza o eixo
; se for par, ela toca e volta. Aqui
tem multiplicidade
(ímpar), então a curva atravessa o eixo em
, porém de forma “achatada” pois a derivada em
será zero (a presença do fator
cria uma passagem com tangente horizontal).
Passo 3
Derivada primeira e monotonicidade. A derivada nos dá a inclinação local (se cresce ou decresce). Calculo
:
Os pontos críticos ocorrem quando
, ou seja:
Para entender onde a função cresce ou decresce, faço um estudo de sinais de
.
-
para todo e é zero só em . - O sinal de
depende essencialmente de .
Portanto:
- Para
: e então (a função cresce). - Para
: e então (a função cresce). - Para
: então (a função decresce).
Observação importante: em
a derivada é zero, mas o sinal de
não muda (positivo à esquerda e à direita), portanto
não é máximo nem mínimo — é um ponto crítico onde a tangente é horizontal, mas a função continua a crescer (é uma inflexão horizontal, que vamos confirmar com a segunda derivada).
Conclusão sobre monotonicidade:
Logo
é candidato a máximo local.
Passo 4
Derivada segunda e concavidade. A segunda derivada diz se a curva está “virada para cima” (concavidade para cima) ou “virada para baixo” (concavidade para baixo). Calculo
:
Pontos de inflexão potencialmente ocorrem quando
:
Estudo de sinais de
:
- Para
: e então → concavidade para baixo. - Para
: e então → concavidade para cima. - Para
: então → concavidade para baixo.
Portanto há mudança de concavidade em
e em
; são pontos de inflexão. Note que
é simultaneamente um ponto crítico com derivada zero e um ponto de inflexão — isto é chamado de ponto de inflexão horizontal.
Calculo as ordenadas desses pontos:
Faço as contas passo a passo:
Transformo
para denominador
:
. Então
Resumo de concavidade e inflexões:
Pontos de inflexão:
e
.
Passo 5
Classificação do extremo em
. Já vimos que a função cresce para
e decresce para
, logo
é um máximo local. Confirmo com a segunda derivada:
o que confirma máximo local. A ordenada:
Então há um máximo local em
. Como o termo de maior grau é
, a função tende a
nas duas pontas, então esse máximo em
é o máximo global da função (porque para
grande
fica arbitrariamente negativo).
Passo 6
Comportamento para
(fim das caudas). Como o termo dominante é
(grau par, coeficiente negativo), temos
Isto significa que ambas as extremidades do gráfico descem para
.
Passo 7
Combinação de todas as informações para esboçar o gráfico e instruções práticas de desenho:
- Zeros e interceptos:
(raiz de multiplicidade ) e . - Pontos notáveis: ponto de inflexão horizontal em
; ponto de inflexão em ; máximo local (e global) em . - Monotonicidade: cresce em
(com uma parada horizontal em sem mudar o sentido) e decresce em . - Concavidade: côncava para baixo em
, côncava para cima em , e côncava para baixo em . - Extremidades: vai para
em ambas as direções.
Como desenhar, passo a passo:
- Marque os pontos
, e e . - A partir da esquerda, a curva vem de
, sobe (côncava para baixo), chega a com tangente horizontal e atravessa o eixo (de negativo para positivo), passa a ficar côncava para cima até , depois muda para côncava para baixo, continua subindo até o máximo em , e depois desce, cruza o eixo em e vai para . - As transições de concavidade e o máximo devem ficar coerentes com as ordens de grandeza dadas (por exemplo,
, ).
Isso é suficiente para um esboço fiel ao comportamento da função. Força aí — com esses pontos e sinais você consegue desenhar a curva certinha numa folha.
Resposta
Zeros:
e
.
Pontos de inflexão: e
.
Máximo local (e global): .
Monotonicidade: cresce em , decresce em
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
, côncava para baixo em
.
Comportamento nas extremidades: .
Pontos de inflexão:
Máximo local (e global):
Monotonicidade: cresce em
Concavidade: côncava para baixo em
Comportamento nas extremidades: