\mathbf{9}^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Sejam os vetores u=(2, x, 0), v=(1-x, 1,-1) e w=(x, 1,2), em que x \in \mathbb{R}. Determine, se possível, os valores de x para os quais os vetores u, v e w sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se possível, os valores de x\in\mathbb{R} para os quais os vetores u, v e w sejam coplanares.
Dados fornecidos:
u=(2,x,0),\qquad v=(1-x,1,-1),\qquad w=(x,1,2).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou produto escalar triplo) for zero. O produto misto de u,v,w é
[u,v,w]=u\cdot(v\times w),
que representa (em valor absoluto) o volume orientado do paralelepípedo gerado por u,v,w. Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
[u,v,w]=\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix}.
Portanto, para achar os x que tornam os vetores coplanares basta resolver a equação
\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix}=0.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante passo a passo. Expandindo pela primeira linha (regra de Sarrus ou cofatores; aqui uso cofatores pela primeira linha):
\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix}1-x & -1 \\[4pt] x & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-(-1)\cdot 1=2+1=3,
\det\begin{pmatrix}1-x & -1 \\[4pt] x & 2\end{pmatrix}=(1-x)\cdot 2-(-1)\cdot x=2-2x+x=2-x.]

Passo 4

Substituindo os menores na expressão do determinante:
\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot 3 - x\cdot(2-x) =6 -2x + x^{2}.
Então a condição de coplanaridade vira resolver a equação quadrática
x^{2}-2x+6=0.]

Passo 5

Análise da equação quadrática: o discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0,
ou, completando o quadrado,
x^{2}-2x+6=(x-1)^{2}+5>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto a equação x^{2}-2x+6=0 não tem raízes reais, isto é, não existe x\in\mathbb{R} que anule o produto misto.

Resposta

Não existe valor real de x tal que u, v e w sejam coplanares.

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