\mathbf{9}^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: Sejam os vetores u=(2, x, 0), v=(1-x, 1,-1) e w=(x, 1,2), em que x \in \mathbb{R}. Determine, se possível, os valores de x para os quais os vetores u, v e w sejam coplanares.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, se possível, os valores de x\in\mathbb{R} para os quais os vetores u, v e w sejam coplanares.
Dados fornecidos:
u=(2,x,0),\qquad v=(1-x,1,-1),\qquad w=(x,1,2).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): três vetores em \mathbb{R}^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou produto escalar triplo) for zero. O produto misto de u,v,w é
[u,v,w]=u\cdot(v\times w),
que representa (em valor absoluto) o volume orientado do paralelepípedo gerado por u,v,w. Esse produto misto é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores:
[u,v,w]=\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix}.
Portanto, para achar os x que tornam os vetores coplanares basta resolver a equação
\det\begin{pmatrix}2 & x & 0 \\[4pt] 1-x & 1 & -1 \\[4pt] x & 1 & 2\end{pmatrix}=0.]
Passo 3
Vamos calcular o determinante passo a passo. Expandindo pela primeira linha (regra de Sarrus ou cofatores; aqui uso cofatores pela primeira linha):