Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações que temos:
- Precisamos resolver o problema de valor inicial dado por
com condições iniciais
- A força externa
é uma função por partes:
- Não há figura nem outra informação; tudo o que precisamos está acima.]
Passo 2
Escolha do método e representação de [f(t)) com degraus (função unidade):
- Uma forma prática para lidar com forças que ligam e desligam em instantes distintos é escrever
com funções degrau unitário , onde
- Observando a definição de
no intervalo
e fora. Isso equivale a ligar uma fonte de amplitude em e desligá‑la em . Logo podemos escrever
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace nas equações (introdução às transformadas usadas):
- Denotamos por
e usamos as fórmulas para derivadas:
- Substituindo
e obtemos
- Transformada de
: como e , temos
Passo 4
Equação algébrica em
e separação em termos inversíveis:
- Aplicando a transformada de Laplace na EDO:
- Agrupando
:
- Portanto
- Note que
. Vamos inverter termo a termo.
Passo 5
Inversão do primeiro termo (resposta livre das condições iniciais, sem forçamento):
- O primeiro termo é
- Sabendo que
, concluímos
- Este termo representa a resposta homogênea resultante das condições iniciais (a
) quando .
Passo 6
Trabalhando o segundo termo com o deslocamento exponencial (teorema do segundo deslocamento):
- O segundo termo é
- Podemos escrever isso como
- Pelo teorema do deslocamento: se
então . Assim, precisamos encontrar
pois então a contribuição do forçamento será
Passo 7
Cálculo de
via convolução (explicando convolution passo a passo):
- Use que
é produto de e . Então a inversa é a convolução das inversas:
- A convolução
é
fazendo a substituição
.
- Calcule a integral explícita. Usamos a primitiva conhecida
- Avaliando de
até :
- Portanto
Passo 8
Construindo a solução completa e simplificando os termos deslocados:
- Lembrando que há um fator
multiplicando as funções deslocadas, a contribuição do forçamento é
- Como
, temos . Denotemos
- Assim a solução total é
Passo 9
Expressando
e
em termos de
e
(identidades trigonométricas simples):
- Primeiro calcule
. Observe que
- Logo
- Para
, usamos e , portanto
Passo 10
Escrevendo a solução final de forma peça‑por‑peça (o que efetivamente aparece na prova):
- Para
, os termos degrau são zero e
- Para
, apenas o degrau em está ativo:
- Para
, ambos os degraus aparecem e subtrai‑se o segundo, ficando