Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede a transformada de Laplace
. As informações relevantes são: o valor de
é nulo até
e depois é o polinômio
. A pergunta é: encontrar
(e indicar a condição em
onde a transformada existe).]
Passo 2
Lembrete da definição que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável de tempo e
é o parâmetro complexo (para nossa questão, precisamos de
para garantir convergência). Essa integral transforma a função do domínio do tempo para o domínio
.
Passo 3
Como
para
, a integral da definição começa efetivamente em
. Logo
Isso já simplifica bastante: só precisamos avaliar essa integral imprópria.
Passo 4
Façamos a troca de variável mais natural aqui: coloque
. Então
e
. Os limites mudam de
e
. Substituindo,
Isolando o fator que não depende de
(o exponencial com
):
Ou seja,
vezes a transformada de
vista como função de
.
Passo 5
Agora precisamos calcular a integral
para
. Vou fazer por partes (duas vezes), que é um jeito que dá para fazer “na prova” sem usar a função Gamma.
Primeira integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula de partes,
O termo de fronteira vale zero porque, para
,
quando
(a exponencial domina o polinômio), e no zero é claramente zero. Portanto
Passo 6
Calculemos agora
. Novamente por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira é zero (novamente o
quando
). A última integral é simples:
Portanto
Passo 7
Voltando para
: temos
Esse resultado também é compatível com a fórmula geral
para
inteiro não negativo (aqui
dá
).
Passo 8
Substituindo
em
, obtemos
válido para
. Como comentário final: esse resultado também pode ser visto diretamente pelo teorema do deslocamento no tempo (função degrau):
tem transformada
.