Calcule
onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
onde foram dadas as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A curva
é dada por com . - A variável de parametrização é
percorrendo de até .
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral de linha.
Passo 2
Primeiro, a fórmula prática para calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
,
, é
Aqui:
-
significa avaliar o campo no ponto da curva correspondente a . -
é o vetor velocidade (derivada) da curva. - O produto escalar
dá um integrando escalar em função de .
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao caso dado.
Passo 3
Simplifico primeiro a expressão de
. Temos
Multiplicando as potências de
usando regras de expoentes, obtemos
Explicando rápido: dividir por
e por
é o mesmo que dividir por
.
Passo 4
Agora avalio o campo sobre a curva
. Substituo
e
:
A derivada da parametrização é
Isso significa que o produto escalar a ser integrado é simplesmente a componente
de
multiplicada por
.
Passo 5
Faço o produto escalar:
Portanto a integral de linha vira a integral de uma função real em
:
Passo 6
Agora observo a função integranda
. Ela é uma função ímpar porque:
- O numerador
é ímpar: muda de sinal. - O denominador
é par (depende de ), não muda de sinal.
Logo. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico vale zero. Como os limites são e , concluo imediatamente que
Isso já resolve, mas mostro também um cálculo direto da primitiva para confirmar.
Passo 7
Cálculo da primitiva por substituição para confirmação: tomo
, então
, logo
. Assim
Avalio nos limites
e
:
Confirmação completa de que a integral vale zero.