Calcule \int_{\gamma} \vec{E} d \vec{l} onde \vec{E}(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \cdot \frac{x \cdot \vec{i}+y \cdot \vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e \gamma(t)=(t, 1), \quad t \in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha
\int_{\gamma} \vec{E}\cdot d\vec{l}
onde foram dadas as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \vec{E}(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\dfrac{x\vec{i}+y\vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A curva \gamma é dada por \gamma(t)=(t,1) com t\in[-1,1].
  • A variável de parametrização é t percorrendo de -1 até 1.
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral de linha.

Passo 2

Primeiro, a fórmula prática para calcular uma integral de linha de um campo vetorial \vec{E} ao longo de uma curva parametrizada \gamma(t), t\in[a,b], é
\int_{\gamma}\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_{a}^{b}\vec{E}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Aqui:
  • \vec{E}(\gamma(t)) significa avaliar o campo no ponto da curva correspondente a t.
  • \gamma'(t) é o vetor velocidade (derivada) da curva.
  • O produto escalar \cdot dá um integrando escalar em função de t.
Vou aplicar exatamente essa fórmula ao caso dado.

Passo 3

Simplifico primeiro a expressão de \vec{E}. Temos
\vec{E}(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{x\vec{i}+y\vec{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Multiplicando as potências de x^{2}+y^{2} usando regras de expoentes, obtemos
\vec{E}(x,y)=\frac{x\vec{i}+y\vec{j}}{(x^{2}+y^{2})^{1+\tfrac{1}{2}}}=\frac{x\vec{i}+y\vec{j}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Explicando rápido: dividir por (x^{2}+y^{2}) e por \sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2} é o mesmo que dividir por (x^{2}+y^{2})^{3/2}.

Passo 4

Agora avalio o campo sobre a curva \gamma(t)=(t,1). Substituo x=t e y=1:
\vec{E}(\gamma(t))=\frac{t\vec{i}+1\vec{j}}{(t^{2}+1)^{3/2}}.
A derivada da parametrização é
\gamma'(t)=(1,0)=\vec{i}.
Isso significa que o produto escalar a ser integrado é simplesmente a componente x de \vec{E}(\gamma(t)) multiplicada por 1.

Passo 5

Faço o produto escalar:
\vec{E}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=\frac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}.
Portanto a integral de linha vira a integral de uma função real em t:
\int_{\gamma}\vec{E}\cdot d\vec{l}=\int_{-1}^{1}\frac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}\,dt.

Passo 6

Agora observo a função integranda f(t)=\dfrac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}. Ela é uma função ímpar porque:
  • O numerador t é ímpar: t\mapsto -t muda de sinal.
  • O denominador (t^{2}+1)^{3/2} é par (depende de t^{2}), não muda de sinal.
    Logo f(-t)=-f(t). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] vale zero. Como os limites são -1 e 1, concluo imediatamente que
\int_{-1}^{1}\frac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}\,dt=0.
Isso já resolve, mas mostro também um cálculo direto da primitiva para confirmar.

Passo 7

Cálculo da primitiva por substituição para confirmação: tomo u=t^{2}+1, então du=2t\,dt, logo t\,dt=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int\frac{t}{(t^{2}+1)^{3/2}}\,dt=\int\frac{1}{2}u^{-3/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot\left(-2u^{-1/2}\right)=-u^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}.
Avalio nos limites -1 e 1:
\left[-\frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\right]_{-1}^{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}- \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.
Confirmação completa de que a integral vale zero.

Resposta

0

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