Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Ache o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pela força sobre a partícula ao longo da curva paramétrica entre os parâmetros dados. Dados do problema:
.
.
e
.
A pergunta é: qual é o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de
até
?
A pergunta é: qual é o trabalho realizado por
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
O trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva orientada
parametrizada por
,
, é dado pela integral de linha
O trabalho realizado por um campo de forças
Quando usamos a parametrização
, temos
. Assim a integral fica
Explicando cada parte:
é a força avaliada nas coordenadas da partícula em função de
;
é a velocidade vetorial (derivada componente a componente); o produto escalar
dá a componente da força na direção do deslocamento; integrar de
a
soma infinitesimais de trabalho.
Passo 3
Calcular
. Derivamos componente a componente:
Logo
Observação: derivada de
é
, de
é
, de
é
.
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: substituímos
,
,
em
.
Portanto
Portanto
Podemos simplificar a primeira componente:
logo
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
Fazendo as multiplicações:
Agora simplificamos passo a passo:
então
Portanto o integrando é
Passo 6
Agora integramos de
até
:
Calculamos a primitiva: uma primitiva de
é
. Avaliando nos limites:
Substituindo
:
Substituindo
:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação final rápida e incentivo: o trabalho é
. Mandou bem por encarar esse exercício! Se quiser, a gente pode fazer o mesmo processo em outra curva pra fixar — é sempre a mesma receita: parametriza, deriva, avalia
, faz o produto escalar e integra.