Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, z). Ache o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b), sendo dados
\gamma(t)=(2 t+1, t-1, t), a=1 ; b=2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força sobre a partícula ao longo da curva paramétrica entre os parâmetros dados. Dados do problema:
\vec{F}(x,y,z)=(-y, x, z).
\gamma(t)=(2t+1,\; t-1,\; t).
a=1 e b=2.
A pergunta é: qual é o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b)?

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
O trabalho realizado por um campo de forças \vec{F} ao longo de uma curva orientada C parametrizada por \gamma(t), t\in[a,b], é dado pela integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Quando usamos a parametrização \gamma(t), temos d\vec{r}=\gamma'(t)\,dt. Assim a integral fica
W=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Explicando cada parte: \vec{F}(\gamma(t)) é a força avaliada nas coordenadas da partícula em função de t; \gamma'(t) é a velocidade vetorial (derivada componente a componente); o produto escalar \cdot dá a componente da força na direção do deslocamento; integrar de a a b soma infinitesimais de trabalho.

Passo 3

Calcular \gamma'(t). Derivamos componente a componente:
\gamma(t)=(2t+1,\; t-1,\; t)
Logo
\gamma'(t)=(2,\;1,\;1).
Observação: derivada de 2t+1 é 2, de t-1 é 1, de t é 1.

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva: substituímos x=2t+1, y=t-1, z=t em \vec{F}(x,y,z)=(-y,x,z).
Portanto
\vec{F}(\gamma(t))=\bigl(-(t-1),\;2t+1,\;t\bigr).
Podemos simplificar a primeira componente:
-(t-1)=1-t,
logo
\vec{F}(\gamma(t))=(1-t,\;2t+1,\;t).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t). Produto escalar é soma dos produtos das componentes correspondentes:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=(1-t)\cdot 2+(2t+1)\cdot 1 + t\cdot 1.
Fazendo as multiplicações:
=2(1-t)+(2t+1)+t.
Agora simplificamos passo a passo:
2(1-t)=2-2t,
então
2-2t+2t+1+t = (2+1) + (-2t+2t+t) = 3 + t.
Portanto o integrando é
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=3+t.

Passo 6

Agora integramos de a=1 até b=2:
W=\int_{1}^{2}(3+t)\,dt.
Calculamos a primitiva: uma primitiva de 3+t é 3t+\dfrac{t^{2}}{2}. Avaliando nos limites:
W=\left[3t+\frac{t^{2}}{2}\right]_{1}^{2}.
Substituindo t=2:
3\cdot 2 + \frac{2^{2}}{2} = 6 + \frac{4}{2} = 6 + 2 = 8.
Substituindo t=1:
3\cdot 1 + \frac{1^{2}}{2} = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.
Subtraindo:
W = 8 - \frac{7}{2} = \frac{16}{2} - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}.

Passo 7

Interpretação final rápida e incentivo: o trabalho é \dfrac{9}{2}. Mandou bem por encarar esse exercício! Se quiser, a gente pode fazer o mesmo processo em outra curva pra fixar — é sempre a mesma receita: parametriza, deriva, avalia \vec{F}, faz o produto escalar e integra.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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