Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por \vec{F}(x, y, z)=(-y, x, z). Ache o trabalho realizado por \vec{F} no deslocamento da partícula de \gamma(a) até \gamma(b), sendo dados
\gamma(t)=(\cos t, 0, \operatorname{sen} t), \quad a=0 ; b=2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de forças \vec{F}(x,y,z)=(-y,x,z) no deslocamento da partícula ao longo da curva \gamma desde \gamma(a) até \gamma(b), com
\gamma(t)=(\cos t,0,\sin t),\qquad a=0,\qquad b=2\pi.
Informações relevantes fornecidas:
\;1\ \vec{F}(x,y,z)=(-y,x,z).\n
\;2\ A parametrização da trajetória é \gamma(t)=(\cos t,0,\sin t) para t em [0,2\pi].\n
\;3\ O trabalho pedido é o valor da integral de linha de \vec{F} ao longo de \gamma entre t=0 e t=2\pi.\n
Não se resolve nada aqui; só organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Definição e fórmula prática: o trabalho W de um campo de forças \vec{F} ao longo de uma curva parametrizada por \gamma(t), t\in[a,b], é dado por
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.
Explicando peça a peça:
\vec{F}(\gamma(t)) significa substituir x,y,z pelas componentes de \gamma(t).\n
\gamma'(t) é a derivada da parametrização, que dá o vetor tangente (a velocidade) à curva.\n
O produto \cdot é o produto escalar (dot product) entre dois vetores: para vetores (u_1,u_2,u_3) e (v_1,v_2,v_3),
(u_1,u_2,u_3)\cdot(v_1,v_2,v_3)=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Na prática, seguiremos essa fórmula substituindo os dados do enunciado.

Passo 3

Calcular \gamma'(t) derivando componente a componente \gamma(t)=(\cos t,0,\sin t).
Derivadas básicas que uso:
\dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, e a derivada de constante 0 é 0.
Portanto
\gamma'(t)=(-\sin t,\,0,\,\cos t).

Passo 4

Avaliar \vec{F} ao longo da curva, isto é, calcular \vec{F}(\gamma(t)).
Substituo x=\cos t, y=0, z=\sin t em \vec{F}(x,y,z)=(-y,x,z). Peguei esses valores diretamente da parametrização dada no enunciado.
Assim
\vec{F}(\gamma(t))=(-0,\;\cos t,\;\sin t)=(0,\cos t,\sin t).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).
Usando \vec{F}(\gamma(t))=(0,\cos t,\sin t) e \gamma'(t)=(-\sin t,0,\cos t), aplico a fórmula do produto escalar:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=0\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot 0+\sin t\cdot\cos t=\sin t\cos t.
Portanto o integrando da integral de trabalho é \sin t\cos t.

Passo 6

Calcular a integral
W=\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt.
Duas maneiras rápidas de integrar \sin t\cos t:
Método A (derivada de quadrado): note que \dfrac{d}{dt}(\sin^2 t)=2\sin t\cos t. Então \sin t\cos t=\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(\sin^2 t). Assim
W=\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{d}{dt}(\sin^2 t)\,dt=\frac{1}{2}\big[\sin^2 t\big]_{0}^{2\pi}.
Agora avalio nos extremos: \sin(0)=0 e \sin(2\pi)=0, então
W=\frac{1}{2}\big(0^2-0^2\big)=0.
Método B (identidade trig): \sin t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t). Então
W=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{2\pi}=-\frac{1}{4}\big(\cos(4\pi)-\cos 0\big).
Como \cos(4\pi)=\cos 0=1, fica -\frac{1}{4}(1-1)=0. Mesmo resultado.

Passo 7

Conclusão e interpretação curta: o trabalho realizado por \vec{F} ao longo da curva dada de t=0 até t=2\pi é 0. Apesar do campo não ser conservativo (por exemplo, seu rotor não é nulo), neste percurso específico a contribuição positiva e negativa do integrando se cancelam, resultando em trabalho nulo. Força e motivação: deu tudo certo — integral simples e zero no final!

Resposta

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