Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Ache o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de forças
no deslocamento da partícula ao longo da curva
desde
até
, com
Informações relevantes fornecidas:
\
.\n
\ A parametrização da trajetória é
para
em
.\n
\ O trabalho pedido é o valor da integral de linha de
ao longo de
entre
e
.\n
Não se resolve nada aqui; só organizei o que é pedido e os dados.
Não se resolve nada aqui; só organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Definição e fórmula prática: o trabalho
de um campo de forças
ao longo de uma curva parametrizada por
,
, é dado por
Explicando peça a peça:
significa substituir
pelas componentes de
.\n
é a derivada da parametrização, que dá o vetor tangente (a velocidade) à curva.\n
O produto é o produto escalar (dot product) entre dois vetores: para vetores
e
,
O produto
Na prática, seguiremos essa fórmula substituindo os dados do enunciado.
Passo 3
Calcular
derivando componente a componente
.
Derivadas básicas que uso:
,
, e a derivada de constante
é
.
Portanto
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva, isto é, calcular
.
Substituo ,
,
em
. Peguei esses valores diretamente da parametrização dada no enunciado.
Assim
Substituo
Assim
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Usando
e
, aplico a fórmula do produto escalar:
Portanto o integrando da integral de trabalho é
.
Passo 6
Calcular a integral
Duas maneiras rápidas de integrar
:
Método A (derivada de quadrado): note que
. Então
. Assim
Agora avalio nos extremos:
e
, então
Método B (identidade trig):
. Então
Como
, fica
. Mesmo resultado.
Passo 7
Conclusão e interpretação curta: o trabalho realizado por
ao longo da curva dada de
até
é
. Apesar do campo não ser conservativo (por exemplo, seu rotor não é nulo), neste percurso específico a contribuição positiva e negativa do integrando se cancelam, resultando em trabalho nulo. Força e motivação: deu tudo certo — integral simples e zero no final!