Calcule \int_{\gamma} x d x+d y+2 d z, onde \gamma é a interseção do parabolóide z=x^{2}+y^{2}, com o plano z=2 . x+2 . y-1; o sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de \gamma(t) no plano x y caminhe no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma} x\,d x + d y + 2\,d z
onde \gamma é a curva de interseção entre o parabolóide z=x^{2}+y^{2} e o plano z=2x+2y-1. O sentido de percurso é tal que a projeção de \gamma no plano xy percorre no sentido anti-horário. A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral de linha ao longo de \gamma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{cases} z = x^{2}+y^{2},\\[4pt] z = 2x+2y-1,\\[4pt] \text{curva } \gamma = \{(x,y,z): z=x^{2}+y^{2} \text{ e } z=2x+2y-1\},\\[4pt] \text{orientação: projeção no plano }xy\text{ é anti-horária.} \end{cases}çãçãéá]

Passo 2

Vamos encontrar a projeção de \gamma no plano xy igualando as duas expressões de z:
x^{2}+y^{2}=2x+2y-1.
Reescrevendo em forma de círculo completando quadrados:
x^{2}-2x+y^{2}-2y+1=0
e agrupando termos,
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1.
Portanto a projeção de \gamma no plano xy é o círculo de centro (1,1) e raio 1.

Passo 3

Escolhemos uma parametrização da projeção no sentido anti-horário. A parametrização padrão do círculo de centro (1,1) e raio 1 em sentido anti-horário é
x(t)=1+\cos t,\qquad y(t)=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Isto gera a projeção descrevendo o círculo uma vez no sentido anti-horário conforme pedido.

Passo 4

Agora determinamos z(t) sobre \gamma. Podemos usar qualquer uma das duas equações de z; escolho z=x^{2}+y^{2}. Substituindo x(t) e y(t):
\begin{aligned} z(t) &= (1+\cos t)^{2}+(1+\sin t)^{2}\\[4pt] &= 1+2\cos t+\cos^{2}t + 1+2\sin t+\sin^{2}t\\[4pt] &= 2+2(\cos t+\sin t)+(\cos^{2}t+\sin^{2}t)\\[4pt] &= 3+2(\cos t+\sin t). \end{aligned}
Logo a parametrização da curva \gamma é
\gamma(t)=\bigl(1+\cos t,\;1+\sin t,\;3+2(\cos t+\sin t)\bigr),\qquad t\in[0,2\pi].]

Passo 5

Calculamos as derivadas temporais (as componentes das velocidades):
\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -\sin t,\\[4pt] \frac{dy}{dt} &= \cos t,\\[4pt] \frac{dz}{dt} &= 2(-\sin t+\cos t) = -2\sin t + 2\cos t. \end{aligned}]

Passo 6

Lembrete prático (fórmula usada): para uma forma linear P\,dx+Q\,dy+R\,dz e uma parametrização \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), a integral de linha é
\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\bigr)\,dt.
No nosso caso P(x,y,z)=x, Q=1 (pois o termo é 1\cdot dy) e R=2.

Passo 7

Aplicando a fórmula, a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\bigl(x(t)\,x'(t) + y'(t) + 2\,z'(t)\bigr)\,dt.
Agora substituímos as expressões encontradas:
\begin{aligned} x(t)\,x'(t) &= (1+\cos t)(- \sin t) = -\sin t -\cos t\sin t,\\[4pt] y'(t) &= \cos t,\\[4pt] 2\,z'(t) &= 2\bigl(-2\sin t + 2\cos t\bigr) = -4\sin t + 4\cos t. \end{aligned}
Somando os três termos:
\begin{aligned} x(t)x'(t)+y'(t)+2z'(t) &= \bigl(-\sin t -\cos t\sin t\bigr) + \cos t + \bigl(-4\sin t +4\cos t\bigr)\\[4pt] &= (-\sin t -4\sin t) + (-\cos t\sin t) + (\cos t +4\cos t)\\[4pt] &= -5\sin t -\cos t\sin t +5\cos t. \end{aligned}
Portanto a integral é
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-5\sin t -\cos t\sin t +5\cos t\bigr)\,dt.]

Passo 8

Agora integramos termo a termo no intervalo [0,2\pi].
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} -5\sin t\,dt = -5\bigl[ -\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} = -5( -\cos(2\pi)+\cos 0)= -5( -1+1)=0. (Ou mais direto: integral de \sin sobre um período é zero.)
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} 5\cos t\,dt = 5\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi}=5(\sin(2\pi)-\sin 0)=0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi} -\cos t\sin t\,dt = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin 2t\,dt = -\frac{1}{2}\bigl[-\tfrac{1}{2}\cos 2t\bigr]_{0}^{2\pi} =0. (Também porque \sin 2t tem média zero num período.)
Somando os resultados, a integral total vale 0+0+0=0.

Passo 9

Concluímos que o valor da integral de linha pedido é zero.

Resposta

0

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