Decida se o campo vetorial
dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se o campo vetorial
dado é conservativo e, se for o caso, que eu explicite uma função potencial
para
.
O campo vetorial fornecido é . Listei as informações importantes:
O campo vetorial fornecido é
- Componente
- do campo: . - Componente
- do campo: . - O domínio implícito é todo o plano
(pois e estão definidas para todos ).
Passo 2
Vou lembrar (de forma didática) um critério prático que eu vou usar: se um campo
tem derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado, então
é conservativo se e somente se
Explicando:
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo” e
significa “derivar
em relação a
mantendo
fixo”. Se as duas derivadas parciais mistas coincidirem em todo o domínio adequado, há potencial.
Passo 3
Calculo as derivadas parciais relevantes para o nosso caso. Lembre que
e
. Então:
As duas derivadas parciais são iguais (ambas iguais a
) em todo
.
Passo 4
Verifico a hipótese do domínio: o campo está definido em todo
. O conjunto
é aberto e simplesmente conectado (não tem “buracos”), e
e
são polinomiais (portanto têm derivadas parciais contínuas). Assim, a condição
é suficiente para garantir que
é conservativo em todo o plano.
Passo 5
Agora vou construir explicitamente uma função potencial
. Começo integrando a primeira componente
em relação a
. Ao integrar, trato
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 6
Para determinar
, uso a condição de que a derivada parcial de
em relação a
deve coincidir com
. Se tivermos
, então
Essa derivada parcial tem de ser igual a
. Logo
Portanto
é uma constante (digamos
).
Passo 7
Concluo, pelo passo anterior, que a função potencial existe e tem a forma
, com
constante. Isso confirma que
é conservativo em todo
. (Se quiser usar a função sem constante, escolhe
.)
Resposta
Sim,
é conservativo.