Decida se o campo vetorial \vec{F} dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial f para \vec{F}.
\vec{F}(x, y)=(y, x)

Passo 1

O enunciado pede que eu decida se o campo vetorial \vec{F} dado é conservativo e, se for o caso, que eu explicite uma função potencial f para \vec{F}.
O campo vetorial fornecido é \vec{F}(x,y)=(y,x). Listei as informações importantes:
  • Componente x- do campo: P(x,y)=y.
  • Componente y- do campo: Q(x,y)=x.
  • O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^2 (pois P e Q estão definidas para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2).

Passo 2

Vou lembrar (de forma didática) um critério prático que eu vou usar: se um campo \vec{F}=(P,Q) tem derivadas parciais contínuas num domínio aberto e simplesmente conectado, então \vec{F} é conservativo se e somente se
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Explicando: \partial P/\partial y significa “derivar P em relação a y mantendo x fixo” e \partial Q/\partial x significa “derivar Q em relação a x mantendo y fixo”. Se as duas derivadas parciais mistas coincidirem em todo o domínio adequado, há potencial.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais relevantes para o nosso caso. Lembre que P(x,y)=y e Q(x,y)=x. Então:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(y)=1,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(x)=1.
As duas derivadas parciais são iguais (ambas iguais a 1) em todo \mathbb{R}^2.

Passo 4

Verifico a hipótese do domínio: o campo está definido em todo \mathbb{R}^2. O conjunto \mathbb{R}^2 é aberto e simplesmente conectado (não tem “buracos”), e P e Q são polinomiais (portanto têm derivadas parciais contínuas). Assim, a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x é suficiente para garantir que \vec{F} é conservativo em todo o plano.

Passo 5

Agora vou construir explicitamente uma função potencial f(x,y). Começo integrando a primeira componente P em relação a x. Ao integrar, trato y como constante:
\int P(x,y)\,dx=\int y\,dx = xy + g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 6

Para determinar g(y), uso a condição de que a derivada parcial de f em relação a y deve coincidir com Q. Se tivermos f(x,y)=xy+g(y), então
\frac{\partial f}{\partial y}=x + g'(y).
Essa derivada parcial tem de ser igual a Q(x,y)=x. Logo
x + g'(y) = x \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0.
Portanto g(y) é uma constante (digamos C).

Passo 7

Concluo, pelo passo anterior, que a função potencial existe e tem a forma f(x,y)=xy + C, com C constante. Isso confirma que \vec{F} é conservativo em todo \mathbb{R}^2. (Se quiser usar a função sem constante, escolhe C=0.)

Resposta

Sim, \vec{F} é conservativo.
f(x,y)=xy+C

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