Decida se o campo vetorial
dado é conservativo. Justifique, explicitando (se for o caso) uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu decida se o campo vetorial
é conservativo e, se for, que eu exponha uma função potencial
tal que
. O enunciado fornece:
As informações relevantes a listar: os componentes de
são
o campo está definido para todos os
(pois
são funções definidas em toda a reta). A pergunta é:
é conservativo? Se sim, ache
tal que
e
.
Passo 2
O que significa ser conservativo (explicação didática): dizer que
é conservativo equivale a dizer que existe uma função
(chamada potencial) com
Em domínios simples (em particular em
, que é simplesmente conexo) há um critério muito útil: se
e
têm derivadas parciais contínuas, então
é conservativo se, e somente se,
para todo
no domínio. Vou usar esse critério porque é prático e direto. Explico rapidamente cada parte:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais envolvidas. Primeiro identifiquei
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
portanto
Agora para
:
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
pois
não depende de
.
Passo 4
Compare as duas derivadas parciais que obtivemos:
Para que o critério de conservatividade fosse satisfeito precisaríamos ter
para todo
. Isso não é verdade em
(por exemplo, em
temos
). Logo a igualdade necessária falha, então
não é conservativo.
Passo 5
Mostro uma outra maneira — útil na prova — que reforça a conclusão: suponha, em busca de contradição, que exista
com
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora derivamos essa hipótese em relação a
:
Mas precisamos que
. Igualando,
Isolando
dá
O lado direito depende de
, enquanto
só pode depender de
. Essa dependência em
é impossível, o que contradiz a hipótese de existência de
. Portanto não existe função potencial
.
Passo 6
Conclusão final e incentivo: como o teste das derivadas parciais falha e a tentativa direta de encontrar um potencial leva a contradição, o campo não é conservativo — ou seja, não existe função potencial
com
. Respira: é normal ver campos assim; você fez certo em checar as derivadas e a tentativa de integrar.
Resposta
Não é conservativo.
Não existe função potencial.
Não existe função potencial.