1. Calcule:
    a) \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{3}} d x
    b) \int_{0}^{+\infty} e^{-x} d x
    c) \int_{0}^{+\infty} e^{-s x} d x(s>0)
    d) \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x
    e) \int_{0}^{+\infty} t e^{-t} d t
    f) \int_{0}^{+\infty} t e^{-s t} d t(s>0)
    g) \int_{0}^{+\infty} x e^{-x^{2}} d x
    h) \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x
    i) \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{s^{2}+x^{2}} d x(s>0)
    j) \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular várias integrais impróprias, envolvendo potências de x, exponenciais e funções racionais. Vamos usar:
  • Critério de convergência para integrais do tipo \int_{a}^{\infty} x^{-p}dx.
  • Fórmula básica \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-ax}dx=\tfrac1a para a>0.
  • A definição da função Gamma \Gamma(n+1)=n! para inteiros n.
  • Substituições simples u=x^2, x=s\,u.
  • O resultado \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi2.

Passo 2

Para integrais do tipo \displaystyle \int_{1}^{\infty}x^{-p}dx, sabemos que convergem se e só se p>1, com valor
\int_{1}^{\infty}x^{-p}dx=\frac{1}{p-1}.
Aplicando em
a) p=3 \tfrac1{3-1}=\tfrac12.
j) p=4 \tfrac1{4-1}=\tfrac13.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-a x}dx com a>0 vale
\int_{0}^{\infty}e^{-a x}dx=\frac1a.
Logo
b) com a=1 resulta em 1.
c) com a=s (e s>0) resulta em \tfrac1s.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{\infty}t^n e^{-a t}dt (com n inteiro \ge0) temos \Gamma(n+1)/a^{\,n+1}=n!/a^{\,n+1}. No caso n=1:
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}dt=\frac{1!}{a^2}=\frac1{a^2}.
Assim
e) com a=1 1.
f) com a=s \tfrac1{s^2}.

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{\infty}x e^{-x^2}dx usamos u=x^2, du=2x\,dx, logo
\int_{0}^{\infty}x e^{-x^2}dx =\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}du =\frac12\bigl[\, -e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty} =\frac12.
Isso responde g).

Passo 6

Para integrais do tipo \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{dx}{s^2+x^2} usamos a primitiva \tfrac1s\arctan(x/s). Em particular,
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2} =\bigl[\arctan x\bigr]_{0}^{\infty} =\frac\pi2,
respondendo h), e com substituição x=s\,u:
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{s^2+x^2} =\frac1s\int_{0}^{\infty}\frac{du}{1+u^2} =\frac1s\cdot\frac\pi2 =\frac{\pi}{2s},
respondendo i).

Passo 7

Para \displaystyle \int_{1}^{\infty}x^{-1/2}dx temos p=\tfrac12<1, logo a integral diverge (vai para \infty). Isso completa d).

Resposta

a) \displaystyle \frac12
b) \displaystyle 1
c) \displaystyle \frac1s
d) diverge \infty
e) \displaystyle 1
f) \displaystyle \frac1{s^2}
g) \displaystyle \frac12
h) \displaystyle \frac\pi2
i) \displaystyle \frac{\pi}{2s}
j) \displaystyle \frac13

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